2014届高三数学大一轮复习9.1直线的方程教案理新人教A版

1§9.1直线的方程2014高考会这样考1.考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等；考查过两点的斜率公式；2.求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等)；3.在直线与圆锥曲线的关系问题中考查直线．复习备考要这样做1.理解数形结合的思想，掌握直线方程的几种形式，会根据已知条件求直线方程；2.会根据直线的特征量画直线，研究直线性质．1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.②倾斜角的范围为[0°，180°)．(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.2．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线2两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用3.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1；(2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1；(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0；(4)若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0.4．线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝x1＋x22y＝y1＋y22，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．[难点正本疑点清源](1)直线的倾斜角与斜率的关系斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tanα.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率．(2)①求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．②在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．1．若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为___________．答案45°或135°解析由|k|＝|tanα|＝1，知：k＝tanα＝1或k＝tanα＝－1.又倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝45°或135°.2．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为__________．答案4解析由a－35－4＝5－36－4＝1，得a＝4.3．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________．答案x＋y＋1＝0或4x＋3y＝03解析①若直线过原点，则k＝－43，∴y＝－43x，即4x＋3y＝0.②若直线不过原点．设xa＋ya＝1，即x＋y＝a.∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0.4．直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点．则直线l的倾斜角的取值范围为____________．答案0，π4∪π2，π解析直线l的斜率k＝m2－11－2＝1－m2≤1.若l的倾斜角为α，则tanα≤1.又∵α∈[0，π)，∴α∈0，π4∪π2，π.5．如果A·C0，且B·C0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA0，在y轴上的截距－CB0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A.13B．－13C．－32D.23(2)直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是()A.π6，π2∪π2，5π6B.0，π6∪5π6，π4C.0，5π6D.π6，5π6思维启迪：斜率公式和倾斜角的定义是解决这类问题的基础，范围可结合图形考虑．答案(1)B(2)B解析(1)依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有a＋7＝2b＋1＝－2，解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为－3－17＋5＝－13.(2)由xcosα＋3y＋2＝0得直线斜率k＝－33cosα.∵－1≤cosα≤1，∴－33≤k≤33.设直线的倾斜角为θ，则－33≤tanθ≤33.结合正切函数在0，π2∪π2，π上的图象可知，0≤θ≤π6或5π6≤θπ.探究提高直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈0，π2时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围．解如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，当m≠0时，kQA＝32，kPA＝－2，kl＝－1m.∴－1m≤－2或－1m≥32，解得0m≤12或－23≤m0；当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点，5所以，实数m的取值范围为－23≤m≤12.题型二求直线的方程例2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－14；(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.思维启迪：选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可．解(1)方法一设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.方法二由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－2k，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－2k＝2－3k，解得k＝－1或k＝23，∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝23(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－14×3＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.6解方程组x＝12x＋y－6＝0，求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，即x＝1为所求．设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，解方程组2x＋y－6＝0y＋1＝kx－，得两直线交点为x＝k＋7k＋2y＝4k－2k＋2.(k≠－2，否则与已知直线平行)．则B点坐标为k＋7k＋2，4k－2k＋2.由已知k＋7k＋2－12＋4k－2k＋2＋12＝52，解得k＝－34，∴y＋1＝－34(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.探究提高在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2，3)，求：(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．解(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为y－13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0.(2)设BC中点D的坐标为(x，y)，则x＝2－22＝0，y＝1＋32＝2.7BC边的中线AD过A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为x－3＋y2＝1，即2x－3y＋6＝0.(3)BC的斜率k1＝－12，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.题型三直线方程的综合应用例3已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．思维启迪：抓住直线过定点这个特征，找直线不经过第四象限的条件，表示△AOB的面积，然后求最值．(1)证明直线l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，令x＋2＝01－y＝0，解得x＝－2y＝1，∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)解由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2kk≤－21＋2k≥1，解之得k0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.(3)解由l的方程，得A－1＋2kk，0，B(0,1＋2k)．依题意得－1＋2kk0，1＋2k0，解得k0.∵S＝12·|OA|·|OB|＝12·1＋2kk·|1＋2k|8＝12·＋2k2k＝124k＋1k＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k0且4k＝1k，即k＝12，∴Smin＝4，此时l的方程为：x－2y＋4＝0.探究提高利用直线方程解决问题，要灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．9已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．解方法一设直线方程为xa＋yb＝1(a0，b0)，点P(3,2)代入得3a＋2b＝1≥26ab，得ab≥24，从而S△AOB＝12ab≥12，当且仅当3a＝2b时等号成立，这时k＝－ba＝－23，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.方法二依题意知，直线l的斜率k存在且k0.则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k0)，且有A3－2k，0，B(0,2－3k)，∴S△ABO＝12(2－3k)3－2k＝1212＋－9k＋4－k≥1212＋2－9k4－k＝12×(12＋12)＝12.当且仅当－9k＝4－k时，即k＝－23时，等号成立．即△ABO面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.分类讨论思想在求直线方程中的应用典例：(12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程．审题视角(1)题目已告诉直线斜率为k，即斜率存在．(2)从题意上看，斜率k可以为0，也可以不为0，所以要分类讨论．规范解答10解(1)当k＝0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程为y＝12.[2分](2)当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线