2014届高考数学(理)一轮复习专题集训随机变量的数字特征

随机变量的数字特征一、选择题(每小题6分，共36分)1.若随机变量X服从二点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为()(A)0.5和0.25(B)0.5和0.75(C)1和0.25(D)1和0.752.(2012·威海模拟)设X为随机变量，X～B(n，13)，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等于()(A)1316(B)4243(C)13243(D)802433.(2012·营口模拟)某一离散型随机变量X的概率分布如下表，且E(X)＝1.5，则a－b的值为()X0123P0.1ab0.1(A)－0.1(B)0(C)0.1(D)0.24.离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝pkq1－k(k＝0,1，p＋q＝1)，则E(X)与D(X)依次为()(A)0和1(B)p和p2(C)p和1－p(D)p和p(1－p)5.(易错题)若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝23，P(X＝x2)＝13，且x1＜x2，又已知E(X)＝43，D(X)＝29，则x1＋x2的值为()(A)53(B)73(C)3(D)1136.利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()(A)A1(B)A2(C)A3(D)A4二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·聊城模拟)两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望E(X)＝.8.“好运”出租车公司按月将某辆车出租给司机，按照规定：无论是否出租，该公司每月都要负担这辆车的各种管理费100元，如果在一个月内该车被租的概率是0.8，租金是2600元，那么公司每月对这辆车收入的期望值为元.9.抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的期望是.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·潍坊模拟)为了参加伦敦奥运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：队别北京上海天津八一人数4635(1)从这18名队员中随机选出两名，求两人来自于同一队的概率；(2)中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ).11.(2012·烟台模拟)甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：(1)求乙球员得分的平均数和方差；(2)分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和Y的分布列和数学期望.(注：方差s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中x为x1，x2，…，xn的平均数)【探究创新】(16分)某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品；点数之和小于8点的不得奖.求：(1)同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率；(2)如该俱乐部在游戏环节不亏也不盈利，求a的值.答案解析1.【解析】选A.∵X服从二点分布，∴X的概率分布列为X01P0.50.5∴E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，D(X)＝0.52×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25.2.【解析】选D.∵X～B(n，13)，E(X)＝2，∴n·13＝2，∴n＝6，∴P(X＝2)＝C26(13)2(1－13)4＝6×51×2×19×1634＝80243.3.【解析】选B.由0.1＋a＋b＋0.1＝10×0.1＋a＋2b＋3×0.1＝1.5⇒a＝0.4b＝0.4，∴a－b＝0.4.【解析】选D.由题意可得P(X＝0)＝q，P(X＝1)＝p，∴E(X)＝0×q＋1×p＝pD(X)＝(0－p)2q＋(1－p)2p＝p(1－p).5.【解题指南】利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式构造含有x1，x2的方程组求解.【解析】选C.分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得：x1·23＋x2·13＝43，(x1－43)2·23＋(x2－43)2·13＝29，解得x1＝53x2＝23或x1＝1x2＝2，又∵x1＜x2，∴x1＋x2＝3.6.【解题指南】求出四种方案A1、A2、A3、A4盈利的期望，再结合期望作出判断.【解析】选C.方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是：A1：50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；A2：70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；A3：－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；A4：98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6.所以A3盈利的期望值最大，所以应选择A3.7.【解析】X的分布列为X012P494919∴E(X)＝0×49＋1×49＋2×19＝23.答案：238.【解析】设公司每月对这辆车的收入为X元，则其分布列为：X－1002500P0.20.8故E(X)＝(－100)×0.2＋2500×0.8＝1980元.答案：19809.【解题指南】先求出一次试验成功的概率，再根据二项分布求解.【解析】由题意一次试验成功的概率为1－23×23＝59，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数X～B(10，59)，所以E(X)＝509.答案：50910.【解析】(1)“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A，则P(A)＝22224635218CCCCC＝29.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2.∵P(ξ＝0)＝214218CC＝91153，P(ξ＝1)＝11414218CCC＝56153，P(ξ＝2)＝24218CC＝6153∴ξ的分布列为：ξ012P91153561536153∴E(ξ)＝0×91153＋1×56153＋2×6153＝49.11.【解析】(1)由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18,24,24,30，所以平均数为x＝18＋24＋24＋304＝24；方差为：s2＝14[(18－24)2＋(24－24)2＋(24－24)2＋(30－24)2]＝18.(2)甲球员四场比赛得分为20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的得分，共有16种情况：(18,20)(18,20)(18,26)(18,32)(24,20)(24,20)(24,26)(24,32)(24,20)(24,20)(24,26)(24,32)(30,20)(30,20)(30,26)(30,32)得分和可能的结果有：38,44,50,56,62得分和Y的分布列为：Y3844505662P18516516316116数学期望E(Y)＝38×18＋44×516＋50×516＋56×316＋62×116＝48.5.【方法技巧】求离散型随机变量均值与方差的基本方法(1)定义法：已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)性质法：已知随机变量ξ的均值与方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值与方差，可直接利用均值、方差的性质求解；(3)公式法：如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如二点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.【变式备选】在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数X的分布列与期望.【解析】只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，P(A)＝1－P(A)＝1－C23C26＝1－15＝45.(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝5C26＝13，P(X＝1)＝4C26＝415，P(X＝2)＝3C26＝15，P(X＝3)＝2C26＝215，P(X＝4)＝1C26＝115.从而知X的分布列为X01234P1341515215115所以E(X)＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.[来源:]【探究创新】【解析】(1)设掷两颗正方体骰子所得的点数记为(x，y)，其中1≤x≤6,1≤y≤6，则获一等奖只有(6,6)一种可能，其概率为：16×16＝136；获二等奖共有(6,5)、(5,6)、(4,6)、(6,4)、(5,5)共5种可能，其概率为：536；设事件A表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，则有：P(A)＝C13×136×(536)2＝2515552；(2)设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，则ξ的可能取值为30－a，－70,0,30，其分布列为：ξ30－a－70030P13653614712则：E(ξ)＝(30－a)×136＋(－70)×536＋0×14＋30×712＝310－a36；由E(ξ)＝0得：a＝310，即一等奖可设价值为310元的奖品.