2014届高考数学大一轮复习(Word版题库含解析)8.6空间向量及其运算

8.6空间向量及其运算一、选择题1．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()．A．{a，a＋b，a－b}B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．答案C2．以下四个命题中正确的是()．A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB→·AC→＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝λ－11－μb＋λ＋μ1－μc，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．答案B3．有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb.③若MP→＝xMA→＋yMB→，则P，M，A、B共面；④若P，M，A，B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.其中真命题的个数是()．A．1B．2C．3D．4解析其中①③为正确命题．答案B4.如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若AB＝a，11AD＝b，1AA＝c则下列向量中与1BM相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC.12a－12b＋cD．－12a－12b＋c解析1BM＝1BA＋AM＝1BB＋BA＋AM＝－12a＋12b＋c.答案A5．如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝π3，则cos〈OA→，BC→〉的值为()．A．0B.12C.32D.22解析设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝π3，且|b|＝|c|，OA→·BC→＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝12|a||c|－12|a||b|＝0，∴cos〈OA→，BC→〉＝0.答案A6．如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.3B.2C．1D.3－2解析∵BD→＝BF→＋FE→＋ED→，∴|BD→|2＝|BF→|2＋|FE→|2＋|ED→|2＋2BF→·FE→＋2FE→·ED→＋2BF→·ED→＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD→|＝3－2.答案D7．下列命题中①若a∥b，b∥c，则a∥c；②不等式|a＋b|＜|a|＋|b|的充要条件是a与b不共线；③若非零向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ、μ∈R，且λμ≠0)，则c⊥d.正确命题的个数是()．A．0B．1C．2D．3解析只有命题③是正确命题．答案B二、填空题8．如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG→＝2GN→，若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则x，y，z的值分别为________________．解析∵OG→＝OM→＋MG→＝12OA→＋23MN→＝12OA→＋23(ON→－OM→)＝12OA→＋23ON→－23OM→＝12OA→＋23×12(OB→＋OC→)－23×12OA→＝16OA→＋13OB→＋13OC→∴x，y，z的值分别为16，13，13.答案16，13，139.设,xyR，向量4,2,,1,1,cybxa，且cbca//,，则_______ba解析2402,//(3,1)10242xxacbcabyy.答案1010．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．解析如图，AC′→＝AB→＋BC→＋CC′→＝AB→＋AD→＋AA′→，所以|AC′|＝|AC′→|＝|AB→＋AD→＋AA′→|＝AB→2＋AD→2＋AA′→2＋AB→·AD→＋AB→·AA′→＋AD→·AA′→＝1＋4＋9＋＋＝23.答案2311．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(11AA＋11AD＋11AB)2＝311AB2；②1AC·(11AB－11AA)＝0；③向量1AD与向量1AB的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|AB·1AA·AD|.其中正确命题的序号是________．解析由1AA⊥11AD，1AA⊥11AB，11AD⊥11AB⊥11AB，得(1AA＋11AD＋11AB)2＝3(11AB)2，故①正确；②中11AB－1AA＝1AB，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但1AD与1AB的夹角为120°，故③不正确；④中|AB·1AA·AD|＝0.故④也不正确．答案①②12．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．X解析设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.OA与BC所成的角为θ，OA→·BC→＝a(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋AC→)－a·(a＋AB→)＝a2＋a·AC→－a2－a·AB→＝24－162.∴cosθ＝|OA→·BC→||OA→|·|BC→|＝24－1628×5＝3－225.答案3－225三、解答题13．已知非零向量e1，e2不共线，如果AB＝e1＋e2，AC＝2e1＋8e2，AD＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面．证明令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0.则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0.∵e1，e2不共线，∴λ＋2μ＋3v＝0，λ＋8μ－3v＝0.易知λ＝－5，μ＝1，v＝1，是其中一组解，则－5AB＋AC＋AD＝0.∴A、B、C、D共面．14．如右图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，(1)试证A1、G、C三点共线；(2)试证A1C⊥平面BC1D；(3)求点C到平面BC1D的距离．解析(1)证明CA1→＝CB→＋BA→＋AA1→＝CB→＋CD→＋CC1→，可以证明：CG→＝13(CB→＋CD→＋CC1→)＝13CA1→，∴CG→∥CA1→即A1、G、C三点共线．(2)证明设CB→＝a，CD→＝b，CC1→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∵CA1→＝a＋b＋c，BC1→＝c－a，∴CA1→·BC1→＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，∴CA1→⊥BC1→，即CA1⊥BC1，同理可证：CA1→⊥BD→，因此A1C⊥平面BC1D.(3)∵CA1→＝a＋b＋c，∴CA1→2＝a2＋b2＋c2＝3a2，即|CA1→|＝3a，因此|CG→|＝33a.即C到平面BC1D的距离为33a.15．把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长；(2)折起后∠EOF的大小．解析如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O－xyz，则A（0，－22a,0），B（22a,0,0），C（0，22a,0），D（0,0，22a），E（0，－24a，24a），F（24a，24a,0）.(1)|EF→|2＝24a－02＋24a＋24a2＋0－24a2＝34a2，∴|EF|＝32a.(2)OE→＝0，－24a，24a，OF→＝24a，24a，0，OE→·OF→＝0×24a＋－24a×24a＋24a×0＝－a28，|OE→|＝a2，|OF→|＝a2，cos〈OE→，OF→〉＝OE→·OF→|OE→||OF→|＝－12，∴∠EOF＝120°.16．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)EF→·BA→；(2)EF→·DC→；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．解析设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(1)EF→＝12BD→＝12c－12a，BA→＝－a，DC→＝b－c，(2)EF→·BA→＝12c－12a·(－a)＝12a2－12a·c＝14，EF→·DC→＝12(c－a)·(b－c)＝12(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－14；(3)EG→＝EB→＋BC→＋CG→＝12a＋b－a＋12c－12b＝－12a＋12b＋12c，|EG→|2＝14a2＋14b2＋14c2－12a·b＋12b·c－12c·a＝12，则|EG→|＝22.(4)AG→＝12b＋12c，CE→＝CA→＋AE→＝－b＋12a，cos〈AG→，CE→〉＝AG→·CE→|AG→||CE→|＝－23，由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为23.