第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷

第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷1第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷题号一二三四五六七总计得分复核人全卷共七题，总分为140分。一、（15分）图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心．己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000V．在离球心O很远的O′点附近有一质子b，它以Ek＝2000eV的动能沿与OO平行的方向射向a．以l表示b与OO线之间的垂直距离，要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求l的最大值．把质子换成电子，再求l的最大值．解：令m表示质子的质量，0v和v分别表示质子的初速度和到达a球球面处的速度，e表示元电荷，由能量守恒可知2201122mvmveU（1）因为a不动，可取其球心O为原点，由于质子所受的a球对它的静电库仑力总是通过a球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对O点的角动量守恒。所求l的最大值对应于质子到达a球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切（见复解20-1-1）。以maxl表示l的最大值，由角动量守恒有max0mvlmvR（2）由式（1）、（2）可得20max1/2eUlRmv（3）代入数据，可得max22lR（4）若把质子换成电子，则如图复解20-1-2所示，此时式（1）中e改为e。同理可求得max62lR（5）评分标准：本题15分。式（1）、（2）各4分，式（4）2分，式（5）5分。二、（15分）U形管的两支管A、B和水平管C都是由内径均匀的细玻璃管做成的，它们的内径与管长相比都可忽略不计．己知三部分的截面积分别为2A1.010Scm2，2B3.010Scm2，2C2.010Scm2，在C管中有一段空气柱，两侧被水银封闭．当温度为127t℃时，空气柱长为l＝30cm（如图所示），C中气柱两侧的水银柱长分别为a＝2.0cm，b＝3.0cm，2003年9月20日第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷2A、B两支管都很长，其中的水银柱高均为h＝12cm．大气压强保持为0p＝76cmHg不变．不考虑温度变化时管和水银的热膨胀．试求气柱中空气温度缓慢升高到t＝97℃时空气的体积．解：在温度为1(27273)K=300KT时，气柱中的空气的压强和体积分别为10pph，（1）1CVlS（2）当气柱中空气的温度升高时，气柱两侧的水银将被缓慢压入A管和B管。设温度升高到2T时，气柱右侧水银刚好全部压到B管中，使管中水银高度增大CBbShS（3）由此造成气柱中空气体积的增大量为CVbS（4）与此同时，气柱左侧的水银也有一部分进入A管，进入A管的水银使A管中的水银高度也应增大h，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为AVhS（5）所以，当温度为2T时空气的体积和压强分别为21VVVV（6）21pph（7）由状态方程知112212pVpVTT（8）由以上各式，代入数据可得2347.7TK（9）此值小于题给的最终温度273370TtK，所以温度将继续升高。从这时起，气柱中的空气作等压变化。当温度到达T时，气柱体积为22TVVT（10）代入数据可得30.72cmV（11）评分标准：本题15分。求得式（6）给6分，式（7）1分，式（9）2分，式（10）5分，式（11）1分。三、（20分）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M＝20m，地球半径0R＝6400km．假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．解：位于通道内、质量为m的物体距地心O为r时（见图复解20-3），它受到地球的引力可以表示为第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷32GMmFr，（1）式中M是以地心O为球心、以r为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以表示地球的密度，此质量可以表示为343Mr（2）于是，质量为m的物体所受地球的引力可以改写为43FGmr（3）作用于质量为m的物体的引力在通道方向的分力的大小sinfF（4）sinxr（5）为r与通道的中垂线OC间的夹角，x为物体位置到通道中点C的距离，力的方向指向通道的中点C。在地面上物体的重力可以表示为020GMmmgR（6）式中0M是地球的质量。由上式可以得到043gGR（7）由以上各式可以求得0mgfxR（8）可见，f与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为0mgkR（9）物体将以C为平衡位置作简谐振动，振动周期为02/TRg。取0x处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为m的静止物体到达0x处的速度为0v，则根据能量守恒，有2220011()22mvkRh（10）式中h表示地心到通道的距离。解以上有关各式，得222000RhvgR（11）可见，到达通道中点C的速度与物体的质量无关。设想让质量为M的物体静止于出口A处，质量为m的物体静止于出口B处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点C处，并发生弹性碰撞。碰撞前，两物体速度的大小都是0v，方向相反，刚碰撞后，质量为M的物体的速度为V，质量为m的物体的速度为v，若规定速度方向由A向B为正，则有00MvmvMVmv，（12）22220011112222MvmvMVmv（13）解式（12）和式（13），得03MmvvMm（14）质量为m的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口B处时的速度为u，则有第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷422220111()222kRhmumv（15）由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得2220208()()RhMMmugRMm（16）u的方向沿着通道。根据题意，卫星上的装置可使u的方向改变成沿地球B处的切线方向，如果u的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有20200MmuGmRR（17）由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到22071022()RMMmmhMMm（18）已知20Mm，则得00.9255920kmhR（19）评分标准：本题20分。求得式（11）给7分，求得式（16）给6分，式（17）2分，式（18）3分，式（19）2分。四、(20分)如图所示，一半径为R、折射率为n的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为0h的区域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面．Ox为以球心O为原点，与平而垂直的坐标轴．通过计算，求出坐标轴Ox上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标．解：图复解20-4-1中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为i和i，折射光线与坐标轴的交点在P。令轴上OP的距离为x，MP的距离为l，根据折射定律，有sinsinini（1）在OMPsinsinlxii（2）2222coslRxRxi（3）由式（1）和式（2）得xnl再由式（3）得2222(2cos)xnRxRxi设M点到Ox的距离为h，有sinhRi22222cossinRiRRiRh得2222222xRxxRhn222221(1)20xxRhRn（4）解式（4）可得22222221nRhnRnhxn（5）第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷5为排除上式中应舍弃的解，令0h，则x处应为玻璃半球在光轴Ox上的傍轴焦点，由上式2(1)111nnnnxRRRnnn或由图可知，应有xR，故式（5）中应排除±号中的负号，所以x应表示为22222221nRhnRnhxn（6）上式给出x随h变化的关系。因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有0hh，其中折射光线与Ox轴交点最远处的坐标为22222200021nRhnRnhxn（7）在轴上0xx处，无光线通过。随h增大，球面上入射角i增大，当i大于临界角Ci时，即会发生全反射，没有折射光线。与临界角Ci相应的光线有CC1sinhRiRn这光线的折射线与轴线的交点处于22C221111nRnRnxnn（8）在轴Ox上CRxx处没有折射光线通过。由以上分析可知，在轴Ox上玻璃半球以右C0xxx（9）的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。0x与Cx就是所要求的分界点，如图复解20-4-2所示评分标准：本题20分。求得式（7）并指出在Ox轴上0xx处无光线通过，给10分；求得式（8）并指出在Ox轴上0xx处无光线通过，给6分；得到式（9）并指出Ox上有光线段的位置，给4分。五、(22分)有一半径为R的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触．现有另一质量与A相同，半径为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手．己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30．若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径r的值各应满足什么条件？解：放上圆柱B后，圆柱B有向下运动的倾向，对圆柱A和墙面有压力。圆柱A倾向于向左运动，对墙面没有压力。平衡是靠各接触点的摩擦力维持的。现设系统处于平衡第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷6状态，取圆柱A受地面的正压力为1N，水平摩擦力为1F；圆柱B受墙面的正压力为2N，竖直摩擦力为2F，圆柱A受圆柱B的正压力为3N，切向摩擦力为3F；圆柱B受圆柱A的正压力为3N，切向摩擦力为3F，如图复解20-5所示。各力以图示方向为正方向。已知圆柱A与地面的摩擦系数1＝0.20，两圆柱间的摩擦系数3＝0.30。设圆柱B与墙面的摩擦系数为2，过两圆柱中轴的平面与地面的交角为。设两圆柱的质量均为M，为了求出1N、2N、3N以及为保持平衡所需的1F、2F、3F之值，下面列出两圆柱所受力和力矩的平衡方程：圆柱A：133sincos0MgNNF（1）133cossin0FNF（2）13FRFR（3）圆柱B：233sincos0MgFNF（4）233cossin0NNF（5）32FrFr（6）由于33FF，所以得1233FFFFF（7）式中F代表1F，2F，3F和3F的大小。又因33NN，于是式（1）、（2）、（4）和（5）四式成为：13sincos0MgNNF（8）3cossin0FNF（9）3sincos0MgFNF（10）23cossin0NNF（11）以上四式是1N，2N，3N和F的联立方程，解这联立方程可得2NF（12）31sin1cossinNMg（13）2cos1cossinNFMg（14）第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷712cos2sin1cossinNMg（15）式（12）、（13）、（14）和（15）是平衡时所需要的力，1N，2N，3N没有问题，但1F，2F，3F三个力能不能达到所需要的数值F，即式（12）、（14）要受那里的摩擦系数的制约。三个力中只要有一个不能达到所需的F值，在那一点就要发生滑动而不能保持平衡。首先讨论圆柱B与墙面的接触点。接触点不发生滑动要求222FN由式（12），得221FN所以21（16）再讨论圆柱A与地面的