第三章 ARMA的特性

时间序列分析•时间序列的线性模型•模型的阶数•模型阶数的确定•模型参数的估计•模型的检验•平稳时间序列的预报•非平稳时间序列及其预报时间序列的线性模型•自回归模型AR(p)•滑动平均模型MA(q)•自回归滑动平均混合模型ARMA(p,q)一、自回归模型AR(p)设{Xt}为零均值的实平稳时间序列，阶数为P的自回归模型定义为)1.5(,aXXXXtptp2t21t1tst,0st,]aa[E,0]a[E2atst.ts,0]Xa[Ets模型(8.1)简记为AR(p)，它是一个动态模型，是时间序列{Xt}自身回归的表达式，所以称为自回归模型。满足AR(p)模型的随机序列称为AR(p)序列，其中{k，k=1,2,,p}称其中为自回归系数。从白噪声序列{at}所满足的条件看出，at之间互不相关，且at与以前的观测值也不相关，因此，{at}也称为新信息序列，它在时间序列分析的预报理论中有重要意义。为方便起见，引进延迟算子的概念。令BXt=Xt1，B2Xt=B(BXt)=Xt2.一般地有BkXt=Xtk,(k=1,2,)，称B为一步延迟算子，Bk为k步延迟算子。于是(5.1)式可表为(B)Xt=at(5.2)其中(B)=11BpBp.(5.3)平稳性条件：若(5.2)式中，(B)=0的根全在单位圆外，即所有根的模都大于1，则称此条件为AR(p)模型的平稳性条件。当模型(5.2)满足平稳性条件时，1(B)存在且一般是B的幂级数，于是(5.1)式又可写成是Xt=1(B)at,称为AR(p)模型的逆转形式。模型(5.2)可以看作是把相关的序列{Xt}变为一个互不相关序列{at}的系统。二、滑动平均模型MA(q)设{Xt}为零均值的实平稳时间序列，阶数为q的滑动平均模型定义为)4.5(,XaaXqtq1t1tt其中{k，k=1,2,,q}称为滑动平均系数，并简记模型(5.4)为MA(q)。满足MA(q)模型的随机序列称为MA(q)序列。用延迟算子表示，(5.4)式可以写成Xt=(B)at(5.5)其中(B)=11BpBq.(5.6)对于由(5.5)式决定的MA(q)模型，若满足(B)=0的根全在单位圆外，即所有根的模都大于1，则称此条件为MA(q)模型的可逆性条件。当模型(5.5)满足可逆性条件时，1(B)存在，此时(5.5)式可以写成at=1(B)Xt,它称为MA(q)模型的逆转形式。模型(5.5)中的Xt可以看作是白噪声序列{at}输入线性系统的输出。三、自回归滑动平均混合模型ARMA(p,q)设{Xt}为零均值的实平稳时间序列，P阶自回归q阶滑动平均混合模型定义为)7.5(,aaaXXXqtq1t1tptp1t1t其中(B)和(B)分别为(5.3)式和(5.6)式所表示，且它们无公因子，(B)满足平稳性条件，(B)满足可逆性条件。模型(5.7)记为ARMA(p,q)。满足ARMA(p,q)模型的随机序列称为ARMA(p,q)序列。或(B)Xt=(B)at(5.8)显然，ARMA(p,0)=AR(p)；ARMA(0,q)=MA(q)。如同平稳过程的时域分析与频域分析有对应关系一样，ARMA(p,q)序列与具有有理谱密度的平稳序列之间也存在对应关系。那么，一个平稳序列在什么条件下是ARMA(p,q)序列呢？定义5.1设{Xt}为零均值实平稳时间序列，它的谱密度f()是ei2的有理函数:)9.5(,2121,|)e(||)e(|)(f22i22i2a其中()和()是形如(5.3)式和(5.6)式的多项式，且它们无公因子，()满足平稳性条件，()满足可逆性条件。则称{Xt}是具有有理谱密度的平稳序列。定理5.1均值为零的平稳时间序列{Xt}满足(5.8)式的充要条件是：{Xt}具有形如(5.9)式的有理谱密度。证明略[8]。以上定理告诉我们：只要平稳时间序列的谱密度是有理函数形式，则它一定是一个ARMA(p,q)序列。因此，总可找到一个ARMA(p,q)序列，满足预先给定的精度去逼近所研究的平稳序列。