2016届原创§69四大定理.

§69四大定理二、平面向量的基本定理:一、空间向量的基本定理:四、共线向量定理：三、共面向量定理:2.坐标式1.数乘式3.基底式5.点向式4.定比分点式向量概述运算应用两技巧四定理＜＞十大运算三算法①②遗传变异运算律数形结合是关键加减乘数模角影单位方向法向量几何字母坐标式①②两个技巧四定理③④平行垂直角距离⑤注1.十大运算：①加法②减法③数乘④数量积⑤模⑥夹角⑦投影⑧单位向量⑨方向向量⑩法向量注2.三种算法：①几何式②字母式③坐标式注3.两技巧：①平方法②乘向量法注4.四定理：①平面向量基本定理②空间向量基本定理③共线定理④共面定理注5.应用：平行垂直角距离……向量记法向量分类文字符号图象自由向量滑动向量固定向量坐标式字母式单字母式双字母式基底式向量坐标化：）（）（若22221111,,,,,zyxPzyxP）（则12121221,,zzyyxxPP）（头尾头尾头尾尾头zzyyxxPP,,坐标的含义1.广义坐标与直角坐标：①广义坐标：②直角坐标：基本定理中的系数(x,y,z)czbyaxp基底为正交基底时的系数(x,y,z)2.两种坐标系之间的关联：{}a,b,c遗传变异要知晓基底系数即坐标OByOAxOP确定了点P的象限位置①若,类似于直角坐标系，x,y的符号②已知非零向量,则byaxm11byaxn22,ⅰ:nm//2121yyxxⅱ:nm0nm02121yyxx求点的坐标方法公式法定义法方程法线段中点坐标公式三角形重心坐标公式定比分点坐标公式法向量方向向量向量的三种运算方式2.字母式(基底式)：1.坐标式：3.几何式(几何意义)：数算形算具体选用哪一种运算方式要根据题意灵活应用则）（）（若,,,,,,,222111Rzyxbzyxa）（212121,,zzyyxxba）（）（111111,,,,zyxzyxa2.1.3.212121||zyxa)|(|222222zyxb）（）（若22221111,,,,,zyxPzyxP22212121212||PPxxyyzz（）（）（）则注1.注2.22)(||aa22||()向量的十大运算种类||||,cosbababa注：ba0||aaa是与共线的单位向量cos||a||bbaea||abacos||beb5.6.7.900ba,在上的投影为baab在上的投影为ba212121zzyyxxcos||||ba上的投影在bab||上的投影在aba||(坐标式)(模角式)(模影式)8.若直线l:Ax+By+C＝0，则是其一个方向向量),(BAm),1(km若直线l的斜率为k，则是其一个方向向量9.10.求平面法向量的方法及步骤：一设二乘三特值特殊易得验证法向量常用的运算律及公式1.2.3.abba)()(cbacbababa)(aa)()(aaa)(abba)()()(bababacbcacba)()()()(cabcbacba×4.5.6.7.8.bababa2222)()())((babababa222222)(2)()(bbaabbaaba9.10.11.①首尾相连首尾连（位移）②同头同头对角线（合力）三个向量和为位移三力平衡00同头和半是中线同向和半中位线特例①——两向量相加特例②——三向量相加向量加法的几何(物理)意义1.法则:2.特例:首尾相连首尾连（位移）OBPAOPOBOA同头同头对角线（合力）OBPAOPOCOBOACA1A2A3A4…An-1AnnnnnnAAAAAAAAAA11123221向量加法的几何(物理)意义同头和半是中线OBAOMOBOA2MBAMMCDNMNCDAB2同向和半中位线BAMMCDN三个向量和为0BCAOCABCABOFFF3212F1F3F位移三力平衡位移为三力平衡合力为00Ocba0OBABAOBOA减法的几何意义同头相减尾尾连方向指向被减数②坐标式①数乘式③基底式⑤点向式④定比分点式ab与共线baba212121zzyyxxA,B,P三点共线PBAPOByOAxOP1yx且OBOAOP111OBtOAOP，则点P是经过A点，以为方向向量的OB若直线上的任意一点数乘的几何意义伸缩变向及共线定比分点点向式——定比分点坐标公式如图,若21PPPP,则OPP1P221111OPOPOP121xxx121yyy121zzz①②共线定理的定比分点式如图,若OP分尾分分头PPPP，则P头P尾尾头分OPOPOP1111尾头分xxx①②定比分点坐标公式1尾头分yyy1尾头分zzz混合运算的几何意义(基本定理)基底系数即坐标合成分解是作用条条大路通北京基底对角平行线byaxppaxbyczbyaxpababcpaxbycz1.概念：2.公式：bacos||a在上的投影为ab||bbaea||abacos||beb3.应用：①求数量积：②求距离：②距离,数量①投影,射影ba||abb在上的投影||baa在上的投影①②斜向量在法向量上的投影长……是标量是矢量是非负数可正可负投影的几何意义在上的投影为ab大同小异○垂直消向求积求距离斜向量在法向量上的投影长立体几何中，求各类距离的方法甚多，但要特别注意：垂线段不好找下面以面面距离为例来说明：斜向量在法向量上投影长斜线段很好找有木有办法：化斜为直？斜向量在法向量上的投影长数量积的几何意义点积为O即垂直单个考查模角影ba212121zzyyxxcos||||ba||bab在上的投影||aba在上的投影(坐标式)(模角式)(模影式)ba0900ba,注1.22)(||aa22||()注3.baba0注2.§69四大定理二、平面向量的基本定理:一、空间向量的基本定理:四、共线向量定理：三、共面向量定理:2.坐标式1.数乘式3.基底式5.点向式4.定比分点式平面向量的基本定理空间向量的基本定理共线向量定理共面向量定理四大定理之间的关联图从上图可以看出：共线向量定理最特殊共线向量定理是基础，是重点ba,如果是同一个平面内两个不共线的向量，那么byaxp使得p对于这个平面内任意一个向量,有且仅有一对实数x,y（向量分解定理）:二、平面向量的基本定理:p如果三个向量不共面，那么，对这个空间内任意cba,,一个向量,存在有序实数组｛x,y,z｝,使得czbyaxp一、空间向量的基本定理：（向量分解定理）:注1.如何选基底：基底随意不共线（面）越是特殊越简捷知模知角要垂直尽量同头特征线注2.系数与坐标：②已知非零向量，则byaxm11byaxn22,ⅰ:nm//2121yyxxⅱ:nm0nm02121yyxx基底系数即坐标遗传变异要知晓OByOAxOP确定了点P的象限位置①若，类似于直角坐标系，x,y的符号注3.作用：合成分解是作用合力位移是榜样常用特例要熟知三角四边四六面向量的基本定理基底系数即坐标合成分解是作用byaxppaxbyczbyaxpababcpaxbycz练习1.向量的合成与分解：(1).(2001年上海)如图，在底面为平行四边形的四棱柱,则下列向量中与相等的向量是ABCD—A1B1C1D1中,M是AC与BD的交点,若11ABaADb，1BM1122abc1122abc1122abc1122abc【A】A.B.C.D.1AAc(2).(2013年北京)已知A(1,-1),B(3,0),C(2,1)中.若平面2133ab区域D由所有满足的点P组成，则D的面积是________(12,01)APABAC(2,1)ABABCB1D法1：如图,由题意得：从而所求面积为2S⊿ABC222||||()ABACABAC故所求面积2S⊿ABC而25163(1,2)AC区域D为阴影部分图形法2：改为坐标式,再结合线性规划……②A,B,C,P四点共面OCzOByOAxOP1zyx且ab，，共面pbyaxp①……练习2.共面向量定理：(3)《精炼案》P：103Ex8三、共面向量定理:②坐标式①数乘式③基底式⑤点向式④定比分点式ab与共线baba212121zzyyxxA,B,P三点共线PBAPOByOAxOP1yx且OBOAOP111OBtOAOP，则点P是经过A点，以为方向向量的OB若直线上的任意一点伸缩变向及共线定比分点点向式四、共线向量定理(数乘的几何意义)：——定比分点坐标公式如图,若21PPPP,则OPP1P221111OPOPOP121xxx121yyy121zzz①②共线定理的定比分点式如图,若OP分尾分分头PPPP，则P头P尾尾头分OPOPOP1111尾头分xxx①②定比分点坐标公式1尾头分yyy1尾头分zzz练习3.共线向量定理：①数乘式(4)已知O为原点，若点A、B的坐标分别为(a,0),(0,a),APtABa∈R+，(0≤t≤1),则的最大值是____OAOP法1：改为坐标式……法2：如图,PABO由题意得：点P为线段AB上的动点由数量积“模影式”，立得：点P与A重合时，有最大值为a2OAOP②坐标式(5)《金考案》P：89左中(2014年陕西)nS(6)(2011年全国)已知等差数列的前n项和为{}na若,且A,B,C三点共线(该直线不过点O)则S2011=________OCaOAaOB20111析：因A,B,C三点共线，故120111aa所以20112201112011aaS20112③基底式(7).(2015年全国Ⅱ)设向量不平行，向量与平行，则实数λ=______ab，ab2ab12④定比分点式(8).(2015年全国I)设D为⊿ABC所在平面内一点，且满足3BCCD，则A.B.1433ADABAC1433ADABAC4133ADABAC4133ADABAC【A】C.D.法1：不妨将⊿ABC看成是等腰直角三角形，建系……法2：如图,由共线定理得：x+y=1ABCDADxAByACABmAMACnAN，ANBCOM(9)(2007年江西)如图，在⊿ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M，N。若则m+n=法1：线段MN与线段BC重合……法3：如图,因M,O,N共线,AOxAMyAN(x+y=1）xyABACmn又因1122AOABAC,故，12xm12yn即，2mx2ny故m+n=2(x+y)=2故法2：不妨将⊿ABC看成是等腰直角三角形，建系……⑤点向式PQI则A.{(1，1)}B.{(-1，1)}(10)(2009年湖北)已知两个向量集合{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}PaammRQbbnnR{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}PaammRQbbnnRC.{(1，0)}D.{(0，1)}【A】作业：2.(2008年广东)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若，则ACaBDb，AFA.B.C.D.2133ab1124ab1233ab1142ab(提示：D，E，F三点共线)1.(2015年北京)设是