2016届河南省豫北重点中学高三下学期第二次联考数学(理)试题

页1第2016届河南省豫北重点中学高三下学期第二次联考数学（理）试题数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，aR，若1iai为纯虚数，则复数(21)2zai的模等于（）A．2B．3C．6D．112.已知集合2{210}Axxx，集合22ln(31){}(1)xBxyx，则AB（）A．(0,1)B．(0,1]C．(1,)D．[1,)3.已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线340xy平行，则双曲线C的离心率为（）A．233B．2C．3D．24.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．8B．9C．10D．115.某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1，2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间[1,200]的人做试卷A，编号落在[201,560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为（）页2第A．10B．12C．18D．286.下列命题正确的是（）A．命题“xR，均有2320xx”的否定是：“xR，使得2320xx”；B．“命题pq为真命题”是“命题pq为真命题”的充分不必要条件；C．mR，使22()mmfxmx是幂函数，且函数()fx在(0,)上单调递增；D．若数据123,,,,nxxxx的方差为1，则1232,2,2,,2nxxxx的方差为2.7.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A．6766升B．4744升C．3733升D．1升8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．176B．173C．5D．1369.已知函数()sin3cos(0)fxxx的图象的相邻两对称轴间的距离为2，则当[,0]2x时，()fx的最大值和单调区间分别为（）A．1，[,]26B．1，[,]212C．3，[,0]6D．3，[,0]1210.设实数,xy满足约束条件10330390xyxyxy，已知zaxy的最大值是23a，则实数a的取值范围是（）A．[3,1]B．[1,3]C．(,1]D．(3,)11.已知直线2830mxym和圆22(3)(6)25xy相交于,AB两点，当弦AB最短时，m的值为（）A．16B．-6C．6D．16页3第12.已知函数2()gxax，（1xee，e为自然对数的底数）与()2lnhxx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．21[1,2]eB．2[1,2]eC．221[2,2]eeD．2[2,)e第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.二项式61(2)xx展开式中含2x项的系数是________.14.已知平面向量,,abc，满足1abababc，则c的最大值为M________.15.已知(1)fx是周期为2的奇函数，当10x时，()2(1)fxxx，则3()2f的值为________.16.等差数列na的前n项和为nS，数列nb是等比数列，且满足113,1ab，2210bS，5232aba，数列nnab的前n项和nT，若nTM对一切正整数n都成立，则M的最小值为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，且3cos(23)cosaCbcA.（1）求角A的大小；（2）求25cos()2sin22CB的取值范围.18.（本小题满分12分）某市于今年1月1日起实施小汽车限购政策，根据规定，每年发放10万个小汽车购买名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半，政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示.申请意向年龄摇号竞价（人数）合计电动小汽车（人数）非电动小汽车（人数）30岁以下（含30岁）501005020030至50岁（含50岁）50150300500页4第50岁以上10015050300合计2004004001000（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为X，求X的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图所示，在四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD是梯形，//ADBC，侧面11ABBA为菱形，1DABDAA.（1）求证：1ABAD；（2）若2ADABBC，0160AAB，点D在平面11ABBA上的射影恰为线段1AB的中点，求平面11DCCD与平面11ABBA所成锐二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）椭圆22221(0)xyabab的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为2214xy.（1）若一条直径的斜率为13，求该直径的共轭直径所在的直线方程；（2）若椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为12,kk，证明：四边形ACBD的面积为定值.21.（本小题满分12分）设函数2()lnfxxxax，aR.页5第（1）求函数()fx的单调区间；（2）设1()xgxxe，若对于任意给定的0(0,]xe，方程0()1()fxgx在(0,]e内有两个不同的实数根，求a的取值范围.（其中e是自然对数的底数）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，在ABC中，CD是ACB的角平分线，ADC的外接圆交线段BC于点E，3BEAD.（1）求证：3ABAC;（2）当4,3ACAD时，求CD的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为431xtyt（t为参数），当0t时，曲线1C上对应的点为P，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2233sin.（1）求证：曲线1C的极坐标方程为3cos4sin0；（2）设曲线1C与曲线2C的公共点为,AB，求PAPB的值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()21fxxx.（1）解关于x的不等式()4fxx；（2）设,ab,{()}abyyfx，试比较2()ab与4ab的大小.页6第河南省豫北重点中学2016届高三下学期第二次联考数学（理科）参考答案一、选择题1-5.DADCB6-10.CAADB11-12.AB二、填空题13.-19214.3115.1216.10三、解答题17.解：（1）由正弦定理可得，3sincos2sincos3sincosACBACA,页7第从而可得3sin()2sincosACBA，3sin2sincosBBA，又B为三角形的内角，所以sin0B，于是3cos2A，又A为三角形内角，因此，6A.（2）255cos()2sinsincos1sincos()1226CBBCBB，5533sincoscossinsin1sincos13sin()166226BBBBBB由6A可知，5(0,)6B，所以2(,)663B，从而1sin()(,1]62B,18.解：（1）采取分层抽样的方法从30到50岁的人中抽到10人，∵从30至50岁的有500人，∴每个人被抽到的概率为110150050p.根据题意得出：电动小汽车，摇号的有150150，非电动小汽车，摇号的有1150350，竞价的有1300650.（2）设电动小汽车摇号的为1a，非电动小汽车，摇号的为123,,bbb，竞价的为123456,,,,,cccccc，∵选出的10个人中随机抽取4人总共有410210C，其中恰有2人有竞价申请意向的有224690CC，∴其中恰有2人有竞价申请意向的概率为29032107p.（3）根据题意得出：样本总人数1000人，电动小汽车摇号的有200人，非电动小汽车摇号的有400人，竞价的有400人，总共有1000人.用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为200110005p，服从二项分布1(4,)5B，摇号申请电动小汽车意向的人数记为(0,1,2,3,4)XX.∴004414256(0)()()55625PXC；13414256(1)()55625PXC；页8第22241496(2)()()55625PXC；3341416(3)()()55625PXC；4404141(4)()()55625PXC，∴X的分布列为X01234P25662525662596625166251625256256961614()012346256256256256255EX或4()5EXnp19.解：（1）因为侧面11ABBA为菱形，所以1ABAA，又1DABDAA，所以111()ABADAAABADAAADABAD11cos()cosAAADDAAABADDAB11coscos0ABADDAAABADDAA，从而1ABAD.（2）设线段1AB的中点为O，连接1,DOAB，由题意知DO平面11ABBA，因为侧面11ABBA为菱形，所以11ABAB，故可分别以射线OB，射线1OB，射线OD为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，设22ADABBCa，由0160AAB可知OBa，13OAOBa，所以22ODADOAa，从而(0,3,0)Aa，(,0,0)Ba，1(0,3,0)B，(0,0,)Da，所以11(,3,0)CCBBaa，由12BCAD可得31(,,)22Caaa，所以31(,,)22DCaaa，设平面11DCCD的一个法向量为000(,,)mxyz，由10mCC，0mDC,得000003031022axayaxayaz，取01y，则03x，033z，所以(3,1,33)m，又平面11ABBA的法向量为(0,0,)ODa，所以333cos,933131ODmaODmaODm，页9第故平面11DCCD与平面11ABBA所成锐二面角的余弦值为39331.20.解：（1）设斜率为13的与直径平行的弦的端点坐标分别为11(,)xy，22(,)xy，该弦中点为(,)xy，则有221114xy，222214xy，相减得：12221212()()()()04xxxxyyyy，由于122xxx，122yyy，且121213yyxx，所以得：340xy，故该直径的共轭直径所在的直线方程为340xy.（2）椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为12,kk，四边形ACBD显然为