2016届高中数学教案高二第二册(数列)

2014学年度第一学期高二数学（教案）第七章：数列与数学归纳法§7．4数学归纳法MathematicalInduction〖教学目标〗1、知道什么是数学归纳法，关注数学归纳法的几点注意事项；2、会使用数学归纳法解决一些简单数学命题.〖教学重点〗掌握数学归纳法证明，关注两大步骤.〖教学过程〗A：何谓归纳法由一系列有限的．．．．．．．特殊事例．．．．得出的．．．一般结论．．．．的推理方法叫做归纳法，．．．．．．．．．．．归纳法是发现客观世界的内涵的一种行之有效的方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。例如：①写出数列...5,4,3,2,1的通项公式；②数列123,235,347,...,121nnn中每一都能被6整除；③三角形内角和180，四边形内角和360，五边形内角和540，。。。n多边形内角和2180n；④一条直线将平面分成两个部分，两条相交直线将平面分成四个部分，三条两两相交且交点不重合的直线将平面分成七个部分，....n条直线两两相交且交点不重合的直线将平面分成222nn个部分？⑤质数2,3,5,7,11,13,17,...，猜想质数发生器：211nn，241nn⑥歌德巴赫猜想GoldbachConjecture近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如633，1257等等。1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:(a)任何一个6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和；(b)任何一个9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和.这就是著名的哥德巴赫猜想.B：数学归纳法只是简单根据若干特殊事例得出的结论往往不一定正确，所以使用归纳法研究某些数学问题时，还必须对．．．所得的结论进一步加以证明．．．．．．．．．．．．，以保证结论的完全正确。若我们所要证明的数学问题与自然数n有关，我们往往就可以采用数学归纳法。数学归纳法证题步骤：⑴验证命题对于第一个自然数．．．．．．0nn成立；（指n取的第一个值*00nnN）⑵假设命题当kn0kn时成立，证明当1kn时命题也成立；由⑴、⑵对于一切0nn的自然数，命题均成立.（即当完成了上面两个步骤后，我们就可以断定该命题对于从0n开始的所有自然数n均正确）（鸡生蛋，蛋生鸡，循环叠代）2014学年度第一学期高二数学（教案）例1、用数学归纳法证明：2222121123...6nnnn证明：1当1n时，左211，右12316，因此命题成立；2假设当nk时等式成立，即2222121123...6kkkk，则当1nk时，左22222123...1kk212116kkkk212666kkkk12236kkk，所以1nk时命题仍成立；由1、2可知对于一切*nN的自然数，原命题均成立.练习：用数学归纳法证明*nN⑴2135...21nn⑵1222221234...1nn1112nnn*nNC：★★★★★★★对于数学归纳法的几点说明①光有步骤1而缺少步骤2，不能说明命题对于从0n开始的所有自然数n均正确.例如对于数列112nnan，容易验证9321...,,aaaa都是质数，而12110a就不是质数.②光有步骤2而缺少步骤1，也不一定得出正确的结论.例如：关于自然数的命题12...6422nnn就是一个错误的命题，也就是说0nn必须严格证明，因为它是结论在自然数集上递推的基础．．．．．．．．．．．．．。③对于1kn时的证明是整个数学归纳法证明过程中的难点和重点，一定要特别重视使用归纳假设.（没有用归纳假设的证明不是数学归纳法的证明，我们称为伪数学归纳法）例2、一个学生在用数学归纳法证明111...122311nnnn时，用了如下方法来证明：假设当nk时等式成立，则当1kn时，左边1111...1223112kkkk11111111...12231222kkkkk，所以1kn时等式成立.问该同学的这种证法是否恰当，说明你的理由.练习：1、用数学归纳法证明：1123...12nnn2014学年度第一学期高二数学（教案）2、用数学归纳法证明：2222135...21n21413nn3．用数学归纳法证明：121...121nnnn1126nnn4、设*nN，求证：2111nnaa能被12aa整除参考解答：（考虑问题难易，针对3、4做解答仅供参考）3、证明1当1n时，左111，右12316，所以原命题成立；2假设当nk时等式成立，即121...121kkkk1126kkk则当1nk时，左11211...1111kkkk121...121123...1kkkkk1211262kkkkk11236kkk，所以1nk时命题仍成立；由1、2可知对于一切*nN的自然数，原命题均成立.4、证明1当1n时，2111nnaa121aa能被12aa整除；2假设当nk时命题成立，即2111kkaa21aaM，MZ，则当1nk时，2121kkaa2121211111kkkkaaaaaa212112111kkkaaaaaa21211kaaaMa因为211kaMaZ，所以1nk时命题仍成立；由1、2可知对于一切*nN的自然数，原命题均成立.与自然数n有关的数学命题的证明方法由许多种，希望大家在今后的学习过程中灵活应变.〖课后反思〗1、作业布置习题册1213~PP习题7.4A组、B组2、自我体会本节课多少又有些遗憾，讲评试卷和习题册以致分两次讲完，好的是有原地踏步可以更多了解学生，格式基本强化到位了，可解决问题的能力还需加强，基本计算能力有待提高。加油！2014学年度第一学期高二数学（教案）第七章：数列与数学归纳法§7．5数学归纳法的应用〖教学目标〗在掌握了数学归纳法证明问题的方法后，本节课侧重等式证明和整除证明给予学生练习巩固.〖教学重点〗方法的体会，训练：数学语言的表达，格式的规范，思维的严谨.〖教学过程〗有关自然数n的命题通常都可以用数学归纳法来证明，因此数学归纳法应用范围较广，如解决证明代数恒等式、整除性问题、几何问题、三角恒等式以及不等式等等，几乎涉及到初等数学的各个方面，它是初等数学中一个非常重要的证题方法.使用数学归纳法证题的难点是有时需要综合运用过去所学的知识，对这些知识的综合运用能力差及对相关知识的遗忘是数学归纳法证题的主要障碍，本节课重点研究恒等式的证明与整除性问题.A:恒等式的证明例1、用数学归纳法证明：23333123...12...nn证明：1当1n时，左311，右211，所以原命题成立；2假设当nk时等式成立，即23333123...12...kk则当1nk时，33333123...1kk2312...1kk22223112144kkkkk2123...1k，所以1nk时命题仍成立；由1、2可知对于一切*nN的自然数，原命题均成立.练习：数学归纳法证明1、111111...234212nn111...122nnn2、22221223344522...212221nnnn143nnn参考解答：1、证明1当1n时，左11212，右12，所以原命题成立；2假设当nk时等式成立，即111111...234212kk111...122kkk，则当1nk时，11111111...2342122122kkkk11111...1222122kkkkk1111...222122kkkk.所以1nk时命题仍成立；由1、2可知对于一切*nN的自然数，原命题均成立.2014学年度第一学期高二数学（教案）2、证明1当1n时，左22122314，右11114314，所以原命题成立；2假设当nk时等式成立，即22221223344522...212221kkkk143kkk成立.则当1nk时，22221223344522...212221kkkk2221222223kkkk1432267kkkkk214312141247kkkkkkk，所以1nk时命题仍成立；由1、2可知对于一切*nN的自然数，原命题均成立.B：整除性问题用数学归纳法证明有关数或式的整除问题时，要充分利用整除的性质，若干个数（或整式）整除，则其和、差、积也能被这个数（或整式）整除.在由kn时命题成立，证明1kn命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、结合、添项、减项、分解、化简等技巧.欲证1fk能被p整除，只需要把1fk分成两部分：1fkmfkg，其中)(kf能被p整除是由归纳假设的，而g能被p整除是显然的，从而证得p整除1fk.例2、求证：当n为正整数时，nnyx22能被yx整除证明：1当1n时，22xyxyxy能被yx整除，所以原命题成立；2假设当nk时命题成立，即22kkxyxyMMZ，则当1nk时，2222kkxy2222222kkkkxxyxyy222222kkMxyxyxyMxxyyxy，注意到22kMxxyyZ，所以1nk时命题仍成立；由1、2可知对于一切*nN的自然数，原命题均成立.例3、求证：对任意自然数n，122453nn能被14整除证明：1当1n时，63358541461，所以原命题成立；2假设当nk时命题成立，即42213514kkMMZ，则当时，4623422121233581358155kkkkkk21218114565148145kkMM，所以1nk时命题仍成立；由1、2可知对于一切*nN的自然数，原命题均成立.1nk2014学年度第一学期高二数学（教案）练习：*nN1、求证：