2014年数学一轮复习试题_对数与对数函数

第1页共4页第十讲对数与对数函数一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．函数y＝log12(2x2－3x＋1)的递减区间为()A．(1，＋∞)B.－∞，34C.12，＋∞D.－∞，12解析：由2x2－3x＋1＞0，得x＞1或x＜12，易知u＝2x2－3x＋1x＞1或x＜12在(1，＋∞)上是增函数，而y＝log12(2x2－3x＋1)的底数12＜1，且12＞0，所以该函数的递减区间为(1，＋∞)．答案：A2．(运算题，中)已知函数f(x)＝12x，x≥4，f(x＋1)，x＜4，)则f(2＋log23)的值为()A.13B.16C.112D.124答案：D3．(2010·潍坊市质检)函数f(x)＝log2x23的图象的大致形状是()解析：先化简函数解析式，再根据解析式研究函数性质进行判断．由于f(x)＝log2x＝23log2|x|，所以函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，且当x0时，f(x)＝23log2x在(0，＋∞)上单调递增，又函数是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，因此选D.答案：D评析：像这样“给式选图”题一般是通过解析式研究函数的性质(例如函数的定义域、值域、奇偶性、单调性)，及其在函数图象上的特征进行选择．第2页共4页4．(2010·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|lgx|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是()A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：不妨设0a1b，由f(a)＝f(b)得－lga＝lgb，lga＋lgb＝0，ab＝1，因此，a＋b＝a＋1a2，故选C.答案：C5．(2010·全国Ⅰ)设a＝log32，b＝ln2，c＝5－12，则()A．abcB．bcaC．cabD．cba解析：a＝log32＝ln2ln3ln2＝b，又c＝5－12＝1512，a＝log32log33＝12，因此cab，故选C.答案：C6．(2010·浙江)设函数的集合P＝{f(x)＝log2(x＋a)＋b|a＝－12，0，12，1；b＝－1,0,1}，平面上点的集合Q＝{(x，y)|x＝－12，0，12，1；y＝－1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P中函数f(x)的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是()A．4B．6C．8D．10解析：集合P中的元素共12个．当a＝－12时，f1(x)＝log2x－12－1，f2(x)＝log2x－12，f3(x)＝log2x－12＋1，当x＝1时，这三个函数都不可能经过集合Q中的两个点；当a＝0时，f4(x)＝log2x－1，f5(x)＝log2x，f6(x)＝log2x＋1，此时只有后面两个函数恰好经过集合Q中的两个点；当a＝12时，f7(x)＝log2x＋12－1，f8(x)＝log2x＋12，f9(x)＝log2x＋12＋1，此时只有后面两个函数经过集合Q中的两个点；当a＝1时，f10(x)＝log2(x＋1)－1，f11(x)＝log2(x＋1)，f12(x)＝log2(x＋1)＋1，此时f10(x)经过集合Q中的两个点(0，－1)，(1,0)，f11(x)经过集合Q中的三个点－12，－1，(0,0)，(1,1)，函数f12(x)经过集合Q中的点－12，0，(0,1)．综上可知集合P中只有6个元素满足题意．答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．函数y＝log0.5(4x2－3x)的定义域是________．解析：由题意知，log0.5(4x2－3x)≥0＝log0.51，第3页共4页由于00.51，所以4x2－3x0，4x2－3x≤1.从而可得函数的定义域为－14，0∪34，1.答案：－14，0∪34，18．(2010·潍坊检测)函数f(x)＝ln1＋ax1＋2x(a≠2)为奇函数，则实数a等于________．解析：依题意有f(－x)＋f(x)＝ln1－ax1－2x＋ln1＋ax1＋2x＝0，即1－ax1－2x·1＋ax1＋2x＝1，故1－a2x2＝1－4x2，解得a2＝4，但a≠2，故a＝－2.答案：－29．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于________．解析：∵f(3x)＝4xlog23＋233＝4log23x＋233，∴f(2)＋f(4)＋…＋f(28)＝4(1＋2＋…＋8)＋233×8＝2008.答案：200810．若函数f(x)＝12lg(ax2－x＋1)的值域是(0，＋∞)，则实数a的取值范围是________．解析：令t＝lg(ax2－x＋1)，则y＝12t的值域是(0，＋∞)，∴t应取到每一个实数，即函数t＝lg(ax2－x＋1)的值域为R.当a＝0时，t＝lg(－x＋1)的值域为R，适合题意，当a≠0时，应有a0，1－4a≥0.⇒0a≤14.综上，a的取值范围是0≤a≤14.答案：0≤a≤14三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知f(x)＝log4(2x＋3－x2)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)的最大值，并求取得最大值时的x的值．解：(1)单调递增区间为(－1,1]，递减区间为[1,3)(2)因为μ＝－(x－1)2＋4≤4，第4页共4页所以y＝log4μ≤log44＝1，所以当x＝1时，f(x)取最大值1.评析：在研究函数的性质时，要在定义域内研究问题，定义域“优先”在对数函数中体现的更明确．12．已知a0，a≠1，f(logax)＝a(x2－1)x(a2－1).试判断f(x)在定义域上是否为单调函数？若是，是增函数还是减函数？若不是，请说明理由．解：用换元法求出f(x)的解析式，由于其中含有字母，故需讨论．设t＝logax，则x＝at，∵f(t)＝aa2－1·a2t－1at即f(t)＝aa2－1(at－a－t)．∴f(x)＝aa2－1(ax－a－x)．f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，设x1x2，则f(x1)－f(x2)＝aa2－1[(ax1－a－x1)－(ax2－a－x2)]＝aa2－1·(ax1－ax2)(1＋ax1ax2)ax1ax2.∵a0，a≠1，∴ax1ax20,1＋ax1ax20.若0a1，则ax1ax2，ax1－ax20.此时aa2－10，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．同理若a1，f(x1)f(x2)．综上所述，当a0且a≠1时，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，是单调增函数．评析：对于y＝ax，由于其单调性与a的取值有关，故需分0a1和a1两种情况讨论．13．已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由题设，3－ax0对一切x∈[0,2]恒成立，a0且a≠1，∵a0，∴g(x)＝3－ax在[0,2]上为减函数，从而g(2)＝3－2a0，∴a32，∴a的取值范围为(0,1)∪1，32.(2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，∴a＝32，此时f(x)＝log32(3－32x)，当x＝2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在．评析：这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立．