2016届高考数学复习第八章第二节空间几何体的表面积和体积理(全国通用)

1第二节空间几何体的表面积和体积A组专项基础测试三年模拟精选一、选择题1.(2015·山东莱芜模拟)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是()A．2B.92C.32D．3解析根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V＝13×1＋22×2x＝3⇒x＝3.故选D.答案D2．(2015·安徽安庆模拟)一个正方体的棱长为m，表面积为n，一个球的半径为p，表面积为q.若mp＝2，则nq＝()A.8πB.6πC.π6D.π8解析由题意可以得到n＝6m2，q＝4πp2，所以nq＝6m24πp2＝32π×4＝6π，故选B.答案B3．(2014·合肥一模)某一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．54B．58C．60D．63解析由三视图可知，该几何体是一个棱长为3的正方体截去一个长、宽、高分别为1，1，3的长方体，所以该几何体的表面积S表＝6×32＋2×1×3＝60.2答案C4．(2014·浙江宁波质检)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．72πB．48πC．30πD．24π解析由三视图可知，该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，则根据体积公式可得几何体的体积为30π，故选C.答案C二、填空题5．(2014·山东德州一模)圆柱形容器的内壁底半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm，则这个铁球的表面积为______cm2.解析设实心铁球的半径为R，则4π3R3＝π×102×53，得R＝5cm，故这个铁球的表面积为S＝4πR2＝100π(cm2)．答案100π一年创新演练6．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为()A.2π3＋16B.4π3＋16C.2π6＋16D.2π3＋12解析据三视图可知，该几何体是一个半球(下部)与一个四面体(上部)的组合体，其直观图如图所示，其中BA，BC，BP两两垂直，且BA＝BC＝BP＝1，∴(半)球的直径长为AC＝2，∴该几何体的体积为V＝V半球＋VP­ABC3＝12×43πAC23＋13×12×BA·BC·PB＝2π6＋16.答案CB组专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2015·湖北七州模拟)某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为()A．92＋24πB．82＋24πC．92＋14πD．82＋14π解析该几何体是个半圆柱与长方体的组合体，直观图如图，表面积为S＝5×4＋2×4×4＋2×4×5＋2π×5＋π×22＝92＋14π.答案C8.(2014·山东潍坊一中月考)四棱锥P­ABCD的三视图如图所示，四棱锥P­ABCD的五个顶点都在一个球面上，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为()A．12πB．24πC．36πD．48π解析将三视图还原为直观图如图，可得四棱锥P­ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球，且该正方体的棱长为a.设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF的中点为G，连接OG，OA，AG.根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为22，即正方体的面对角线长也是22，可得AG＝2＝22a，所以正方体的棱长a＝2，在Rt△OGA中，OG＝12a＝1，AO＝3，4即四棱锥P­ABCD的外接球半径R＝3，从而得外接球表面积为4πR2＝12π，故选A.答案A二、填空题9．(2014·山东聊城4月)用6根木棒围成一个棱锥，已知其中有两根的长度为3cm和2cm，其余四根的长度均为1cm，则这样的三棱锥的体积为________cm3.解析由题意知该几何体如图所示，SA＝SB＝SC＝BC＝1，AB＝2，AC＝3，则∠ABC＝90°，取AC的中点O，连接SO、OB，则SO⊥AC，所以SO＝SA2－AO2＝12，OB＝12AC＝32，又SB＝1，所以SO2＋OB2＝SB2，所以∠SOB＝90°，又SO⊥AC，所以SO⊥底面ABC，故所求三棱锥的体积V＝13×22×12＝212.答案212三、解答题10.(2014·阳泉月考)已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如图所示．(1)几何体的体积为：V＝13·S矩形·h＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为h1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为h2＝42＋42＝42.故几何体的侧面面积为：S＝2×(12×8×5＋12×6×42)＝40＋242.511.(2014·烟台调研)正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．解(1)底面正三角形中心到一边的距离为13×32×26＝2，则正棱锥侧面的斜高为12＋（2）2＝3.∴S侧＝3×12×26×3＝92.∴S表＝S侧＋S底＝92＋12×32×(26)2＝92＋63.(2)设正三棱锥P­ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP­ABC＝VO­PAB＋VO­PBC＋VO­PAC＋VO­ABC＝13S侧·r＋13S△ABC·r＝13S表·r＝(32＋23)r.又VP­ABC＝13×12×32×(26)2×1＝23，∴(32＋23)r＝23，得r＝2332＋23＝23（32－23）18－12＝6－2.∴S内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.V内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.一年创新演练12．如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的表面积与体积．解设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知条件得l＋r＋2r＝（5＋2）×2，2πrl＝π2，解得r＝2，l＝42.所以S＝πrl＋πr2＝10π，h＝l2－r2＝30，6V＝13πr2h＝230π3.