2014年苏州市初三数学中考复习专题五三角形及其全等相似

五、三角形及其全等、相似徐国红吴中区木渎实验中学【近三年江苏省十三大市中考三角形及其全等、相似的分值与比率】(仅供参考)2011年2012年2013年分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)南京市1411.701512.52319.17苏州市2216.902015.382216.92无锡市1511.601713.101713.10常州市1912.602319.172319.17镇江市1310.801815.001613.33扬州市2516.702214.672416泰州市1812.001711.331812南通市2315.302818.672214.67盐城市2013.302214.672416淮安市1510.002315.332919.33宿迁市2214.602214.602617.33徐州市1915.802218.332214.67连云港市1912.701610.672013.33平均18.713.3820.3814.8822.0015.77【课标要求】1.三角形的有关概念：(1)了解三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系；(2)理解三角形内角和定理及推论；(3)理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质.2.特殊三角形的性质和判定：(1)了解等腰三角形及等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定；(2)掌握线段中垂线和角平分线的性质及判定；(3)了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定；(4)掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.3.全等三角形：(1)理解全等三角形的定义和性质；(2)掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明；4.相似三角形：(1)比例线段：了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题.(2)相似图形：了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用；(3)相似三角形：①了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；②能利用图形的相似解决一些实际问题；③通过实例了解中心投影和平行投影，了解视点、视线及盲区的涵义；(4)位似了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.【课时分布】本单元在第一轮复习时大约需要9个课时，下表为内容及课时安排(仅供参考).课时数内容1三角形的有关概念2等腰三角形、直角三角形1全等三角形的判定、性质3相似三角形2单元测评【知识回顾】1.知识脉络2.基础知识(1)三角形的概念及性质三角形的概念：由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形.三角形的性质：①三角形的内角和是180°；②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；③三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边.(2)三角形中的重要线段三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形三角形三角形的有关概念两类特殊三角形等腰三角形直角三角形等边三角形三角形的边角关系勾股定理三角形全等全等三角形的性质全等三角形的判定三角形相似相似三角形的性质相似三角形的判定相似比K=1的高线，简称高.三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的中位线①连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.②定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半.(3)三角形的外心、内心①三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.②三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三角形三边的距离相等.(4)等腰三角形等腰三角形的有关概念及分类：①有两边相等的三角形叫等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；②等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形；等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；③等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形的判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”).(5)等边三角形的性质与判定等边三角形的性质：①等边三角形的内角相等，且都等于60°；②等边三角形的三条边都相等；等边三角形的判定：①三条边相等的三角形是等边三角形；②三个角相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.(6)线段的垂直平分线线段的垂直平分线概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线.线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.线段的垂直平分线判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合.(7)角平分线的性质及判定角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合.直角三角形的性质：①直角三角形的两锐角互余；②直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.直角三角形的判定：①有一个角等于90°的三角形是直角三角形；②有两角互余的三角形是直角三角形；③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形；④勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.(8)全等三角形的性质与判定全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等.全等三角形的判定：①有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；②有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；③有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；④有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；⑤有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL).(9)比例线段比例线段的概念：在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即dcba(或a∶b=c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.比例线段的性质：①基本性质：ab=cdad=bc；②合比性质：ab=cdddcbba；③等比性质：若ab=cd=···=mn(b＋d＋···＋n≠0)，那么bandbmca.黄金分割的概念：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB=BCAC，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.(10)相似多边形相似多边形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比，相似比为1的两个多边形全等.相似多边形的性质：①相似多边形的对应角相等，对应边成比例；②相似多边形周长的比等于相似比；③相似多边形面积的比等于相似比的平方.(11)相似三角形相似三角形概念各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；②两角对应相等，两三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；④三边对应成比例，两三角形相似.相似三角形性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方.(12)图形的位似图形位似的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫位似图形.这个点叫做位似中心，这时的相似比称为位似比.图形的位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.3.能力要求例1如图5-1-1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.(1)求证：BE=CE；(2)如图5-1-2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变.求证：△AEF≌△BCF.【分析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质可得AD是BC边上的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的性质定理，可直接证明BE=CE；(2)先判定△ABF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角边角”证明△AEF和BCF全等即可.【解】(1)∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∴BE=CE.图5-1-1CAEADABAAAF图5-1-2CAEADABAAA(2)∵∠BAC=45°，BF⊥AF，∴△ABF为等腰直角三角形.∴AF=BF.∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠EAF+∠C=90°.∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°.∴∠EAF=∠CBF.在△AEF和△BCF中，90EAFCBFAFBFAFEBFC，∴△AEF≌△BCF（ASA）.【说明】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质定理，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，熟记和灵活运用三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键.例2如图5-2，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点.(1)求证：2AC=AB·AD；(2)求证：CE∥AD；(3)若AD=4，AB=6，求ACAF的值.【分析】(1)由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得2AC=AB·AD；(2)由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=BE=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；(3)易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得ACAF的值.【解】(1)∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB.∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB.∴AD：AC=AC：AB.∴AC2=AB·AD.(2)∵E为AB的中点，∠ACB=90°∴CE=12AB=AE.∴∠EAC=∠ECA.∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA.∴CE∥AD.(3)∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE.∴AD：CE=AF：CF.∵CE=12AB，∴CE=12×6=3.∵AD=4，∴43AFCF.∴74ACAF.【说明】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质.相似三角形相似的判定方法有：图5-2FCAEDABAAA(1)平行于三角形的一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法.其基本图形可分别记为“A”型和“X”型，在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；(2)两角对应相等，两三角形相似，此种判定方法最为常用，应熟练掌握；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似.例3如图5-3，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B，P，P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E.(1)求证：∠CBP=∠ABP；(2)求证：AE=CP；(3)当32CPPE，BP′=55时，求线段AB的长.【分析】(1)根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性