2013届高三数学一轮复习基础训练系列卷(及答案)(9)

45分钟滚动基础训练卷(十一)[考查范围：第36讲～第39讲分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置)1．已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是________．2．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的________条件．3．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于________．4．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l________(填写“平行”或“垂直”)．5．m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面有四个命题：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)6．如图G11－1，一个由卡片折叠而成的直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝5，AA1＝3，且平面ACC1A1没有封口，一只蚂蚁从A点出发沿着表面爬行到C1点，则最短距离为________．图G11－17．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是________．8．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．[2012·徐州一调]如图G11－2，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，AC交BD于点O，PA⊥平面ABCD，E是棱PB的中点．求证：(1)EO∥平面PCD；(2)平面PBD⊥平面PAC.图G11－210．[2012·惠州调研]如图G11－3的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.图G11－311．如图G11－4，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E为PC的中点．(1)求证：BE∥平面PAD；(2)若AB⊥平面PAD，平面PBA⊥平面PBD，求证：PA⊥PD.图G11－412．[2012·扬州调研]如图G11－5是一个储油罐，它的下部是圆柱，上部是半球，半球的半径等于圆柱底面的半径．(1)若圆柱的底面直径和高都是6m，求此储油罐的容积和表面积；(2)若容积一定，当圆柱的高与底的半径的比是多少时，制造这种储油罐的成本最低(即此几何体的表面积最小)?图G11－545分钟滚动基础训练卷(十一)1．2π[解析]底面半径为4－3＝1，则展开图扇形的弧长为2π，半径为2，所以侧面积为2π.2．充分不必要[解析]充分性成立：“这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：(1)第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”；(2)第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在惟一的一个平面内”；必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”．3.433[解析]正方体外接球的体积是323π，则外接球的半径R＝2，正方体的体对角线的长为4，棱长等于433.4．垂直[解析]对于任意的直线l与平面α，若l在平面α内，则存在直线m⊥l；若l不在平面α内，且l⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l，若l不在平面α内，且l于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m垂直于它的射影，则m与l垂直．5．①④[解析]四个命题：①为真命题；②为假命题；③为假命题；④为真命题，所以真命题的编号是①④.6．32[解析]本题由于没有说明沿着哪两个表面爬行，故需要分类讨论，分别求出各种情况的最小值后，再进行大小比较．若先沿着平面ABC爬行到BC，再沿着平面BCC1B1爬行到C1，故将底面和侧面展开得：此时：AM＋MC1≥AC1＝16＋4＝25.若先沿着平面ABB1A1爬行到A1B1，在沿着平面A1B1C1爬行到C1，将侧面和底面展开得：此时：AM＋MC1≥AC1＝26.若先沿A1ABB1爬行到BB1，再爬行到C1，可得AC1最小为32，故比较三个值可得，蚂蚁爬行的最短距离为32.7．一条直线[解析]设l与l′是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB垂直于这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A与AB垂直的所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面α的交线上．8．36[解析]正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”．9．[解答]证明：(1)因为ABCD是菱形，AC∩BD＝O，所以O是BD的中点．又E是PB的中点，所以EO∥PD.因为EO⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以EO∥平面PCD.(2)因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.又因为BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.10．[解答]证明：(1)取CE的中点G，连接FG、BG.∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝12DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝12DE，∴GF＝AB，∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.11．[解答]证明：(1)(思路1：转化为线线平行，构造一个平行四边形ABEF，其中F为PD的中点)取PD中点F，连接AF、EF，则EF为△PCD的中位线，∴EF∥CD且EF＝12CD.又∵AB∥CD且AB＝12CD，∴EF∥AB且EF＝AB，∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.∵BE⊄面PAD，AF⊂面PAD，∴BE∥面PAD.(思路2：转化为线线平行，延长DA、CB，交于点F，连接PF，易知BE∥PF)(思路3：转化为面面平行，取CD中点F，易证平面BEF∥平面PAD)(2)在平面PBA内作AH⊥PB于H，∵平面PBA⊥平面PBD且平面PBA∩平面PBD＝PB，∴AH⊥平面PBD.∴AH⊥PD.又∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD.∵AB∩AH＝A，∴PD⊥平面PBA，∴PA⊥PD.12．[解答]设圆柱的底面半径为r，高为h，(1)∵V半球＝23πr3＝18π，V圆柱＝πr2h＝54π，∴容积V＝V半球＋V圆柱＝72π(m3)，∵S半球＝2πr2＝18π，S圆柱侧＝2πrh＝36π，S圆柱底＝πr2＝9π，∴表面积S＝S半球＋S圆柱侧＋S圆柱底＝63π(m2)；(2)∵V＝V半球＋V圆柱＝23πr3＋πr2h，∴h＝V－23πr3πr2，∴S＝S半球＋S圆柱侧＋S圆柱底＝2πr2＋2πrh＋πr2＝2πr×V－23πr3πr2＋3πr2＝2Vr＋5πr23，∴S′＝－2Vr2＋10πr3.令S′＝0得r3＝3V5π时表面积有最小值，此时hr＝V－23πr3πr3＝Vπr3－23＝53－23＝1.即圆柱的高与底的半径的比为1时，制造这种储油罐的成本最低．