2013年3月hxy的高中数学组卷2

一．填空题（共17小题）1．（2012•上海）已知等差数列{an}的首项及公差均为正数，令．当bk是数列{bn}的最大项时，k=_________．2．（2012•江苏）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2）个数是它下一行左右相邻两数的和，如=，=+，=+，…，则第10行第4个数（从左往右数）为_________3．（2012•北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2=_________，Sn=_________．4．（2011•陕西）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_________（米）．5．（2011•广东）等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1=1，ak+a4=0，则k=_________．6．（2010•浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0，则d的取值范围是_________．7．（2005•湖南）一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了_________件产品．8．已知数列{an}（n∈N*），首项a1=，若二次方程anx2﹣an+1x﹣1=0的根α、β满足α﹣αβ+β=1，则数列{an}的前n项和Sn=_________．9．设两个方程x2﹣4x+lga=0，x2﹣4x+lgb=0（a≠b）的四个根组成一个公差为2的等差数列，则ab的值为_________．10．已知an=2﹣n+3，bn=2n﹣1，则满足anbn+1＞an+bn的正整数n的值为_________．11．数列{an}中，a1=2，an=+1（n≥2），则a3=_________．12．数列{an}中，a1=3，a2=7，当n≥1时，an+2等于anan+1的个位数，则该数列的第2010项是_________．13．已知数列{an}满足am•n=am•an（m，n∈N*），且a2=3，则a8=_________．14．已知向量为正常数，向量，且a1=1．则数列{an}的通项公式为_________．15．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=3Sn+2（n∈N*），则数列{an}的通项公式为_________．16．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…的第1000项是_________．17．数列2，22，222，2222，…的一个通项公式an=_________．二．解答题（共13小题）18．（2011•宜阳县）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．（1）求角B的大小；（2）求2sin2A+cos（A﹣C）的取值范围．菁优网©2010-2013菁优网19．已知数列{an}中，．（1）若a=﹣7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；（2）若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．20．已知数列{an}的通项公式为．求（1）求数列{an}中的最大项及其值；（2）求数列{an}中的最小项及其值．21．设数列{an}的前n项和为Sn，点（n，）（n∈N+）在函数y=﹣x+12的图象上．（1）写出Sn关于n的函数表达式；（2）求证：数列{an}是等差数列．22．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2．（1）求证：数列{an}为等差数列；（2）试讨论数列{an}的单调性（递增数列或递减数列或常数列）．23．已知等差数列{an}中，a2=8，S10=185．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若从数列{an}中依次取出第2，4，8，…，2n，…项，按原来的顺序排成一个新数列{bn}，试求{bn}的前n项和An，并比较An与nan的大小（n∈N*）．24．已知函数f（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*），且y=f（x）的图象经过点（1，n2），n=1，2，…，数列{an}为等差数列．菁优网©2010-2013菁优网（I）求数列{an}的通项公式；（II）当n为奇数时，设，是否存在自然数m和M，使得不等式恒成立？若存在，求出M﹣m的最小值；若不存在，请说明理由．25．设数列{an}的前n项和Sn，已知a1=1，等式an+an+2=2an+1对任意n∈N*均成立．（1）若a4=10，求数列{an}的通项公式；（2）若a2=1+t，且存在m≥3（m∈N*），使得am=Sm成立，求t的最小值．26．梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，请计算中间各级的宽度．27．已知等差数列{an}满足：a1=2，公差d≠0，（1）若a1，a2，a4成等比数列，求an；（2）已知a5＜0，若当且仅当n=5时，|an|取得最小值，求d的取值范围．28．已知二次函数f（x）=x2﹣ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前n项和Sn=f（n）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求数列{an}的通项公式．29．已知△ABC内角A、C、B成等差数列，A、B、C的对边分别为a，b，c，且c=3，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a，b的值并求△ABC的面积．30．已知数列{an}的前n项和Sn满足，且an＞0．（1）求数列{an}的通项公式（2）令bn=20﹣an，试求数列{bn}的前多少项的和最大？一．填空题（共17小题）菁优网©2010-2013菁优网1．（2012•上海）已知等差数列{an}的首项及公差均为正数，令．当bk是数列{bn}的最大项时，k=1006．考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质．800294专题：综合题．分析：设，，由，根据基本不等式（x+y）2=x2+y2+2xy≤x2+y2+x2+y2=2（x2+y2），得bn2=（）2≤2（an+a2012﹣n）=2（2a1006）=4a1006，由此能求出结果．解答：解：设，，∵，∴根据基本不等式（x+y）2=x2+y2+2xy≤x2+y2+x2+y2=2（x2+y2），得bn2=（）2≤2（an+a2012﹣n）=2（2a1006）=4a1006，当且仅当an=a2012﹣n时，bn取到最大值，此时n=1006，所以k=1006．故答案为：1006．点评：本题考查数列与不等式的综合应用，具体涉及到等差数列的通项公式、基本不等式的性质等基本知识，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．（2012•江苏）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2）个数是它下一行左右相邻两数的和，如=，=+，=+，…，则第10行第4个数（从左往右数）为．考点：数列的函数特性．800294专题：计算题．分析：据每个数是它下一行左右相邻两数的和，先求出第8，9，10三行的第2个数，再求出9，10两行的第3个数，求出第10行的第4个数．解答：解：设第n行第m个数为a（n，m），据题意知a（7，1）=，a（8，1）=，a（9，1）=，a（10，1）=．∴a（10，2）=a（9，1）﹣a（10，1）=﹣=，a（8，2）=a（7，1）﹣a（8，1）==，a（9，2）=a（8，1）﹣a（9，1）=，a（10，3）=a（9，2）﹣a（10，2）=，a（9，3）=a（8，2）﹣a（9，2）=，a（10，4）=a（9，3）﹣a（10，3）=，故答案为．菁优网©2010-2013菁优网点评：本题考查通过观察归纳出各数的关系，考差了学生的观察能力和计算能力，属于中档题，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题．3．（2012•北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2=1，Sn=．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．800294专题：计算题．分析：根据等差数列的性质可求出公差，从而可求出第二项，以及等差数列的前n项和．解答解：根据{an}为等差数列，S2=a1+a2=a3=+a2；∴d=a3﹣a2=∴a2=+=1Sn==故答案为：1，点评：本题主要考查了等差数列的前n项和，以及等差数列的通项公式，属于容易题．4．（2011•陕西）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为2000（米）．考点：等差数列的前n项和．800294专题：应用题．分析：设在第n颗树旁放置所有树苗，利用等差数列求和公式，得出领取树苗往返所走的路程总和f（n）的表达式，再利用二次函数求最值的公式，求出这个最值．解答：解：记公路一侧所植的树依次记为第1颗、第2颗、第3颗、…、第20颗设在第n颗树旁放置所有树苗，领取树苗往返所走的路程总和为f（n）（n为正整数）则f（n）=[10+20+…+10（n﹣1）]+[10+20+…+10（20﹣n）]=10[1+2+…+（n﹣1）]+10[1+2+…+（20﹣n）]=5（n2﹣n）+5（20﹣n）（21﹣n）=5（n2﹣n）+5（n2﹣41n+420）=10n2﹣210n+2100可得n=10或11时f（n）的最小值为2000米故答案为2000点评：本题利用数列求和公式，建立函数模型，再用二次函数来解题，属于常见题型．5．（2011•广东）等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1=1，ak+a4=0，则k=10．考点：等差数列的前n项和．800294专题：计算题；方程思想．分析：先根据“等差数列{an}前9项的和等于前4项的和”求得公差，再由ak+a4=0求得结果．解答：解：∵等差数列{an}前9项的和等于前4项的和∴9+36d=4+6d∴d=又∵ak+a4=0∴1+（k﹣1）d+1+3d=0∴k=10故答案为：10点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．菁优网©2010-2013菁优网6．（2010•浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0，则d的取值范围是．考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．800294专题：计算题．分析：由题设知（5a1+10d）（6a1+15d）=0，即2a12+9a1d+10d2+1=0，由此导出d2≥8，从而能够得到d的取值范围．解答：解：因为S5S6+15=0，所以（5a1+10d）（6a1+15d）+15=0，即2a12+9a1d+10d2+1=0，故（4a1+9d）2=d2﹣8≥0，∴d2≥8，则d的取值范围是．故答案案为：．点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意通项公式的合理运用．7（2005•湖南）一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了5600件产品．考点：分层抽样方法；等差数列的性质．800294专题：计算题．分析：根据题意和分层抽样的定义知，甲．乙．丙三条生产线生产的产品组成一个等差数列，再由等差中项求出．解答：解：由分层抽样知，样本的结构和总体的结构相同；因甲、乙、丙三条生产