2013年中考压轴题全面突破之二函数与几何综合(含答案)

中考数学压轴题全面突破之二•函数与几何综合处理原则坐标系中处理问题的原则：作横平竖直的线．函数与几何综合类问题的处理原则：①研究函数表达式、关键点坐标；②坐标转线段长，分析几何特征；③借助几何特征或函数特征建等式．难点拆解处理函数与几何综合问题需注意挖掘隐含信息和几何特征．①隐含信息主要指由表达式、坐标而找到的特殊角或特殊图形（如边长比为1:3:2的直角三角形）；②几何特征的挖掘通常从图形中的几何模型（相似、奶站等）、关键点构成的图形以及构造横平竖直的线等方面来考虑．处理函数与几何综合类问题的过程中，优先寻找题中的几何模型（如A型相似、X型相似），借助模型表达线段长；若无模型，考虑转化表达或构造模型．1.（2011福建福州）如图，已知二次函数错误!未找到引用源。（错误!未找到引用源。图象的顶点为H，与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），点H，B关于直线l：错误!未找到引用源。对称．（1）求A，B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BK∥AH，交直线l于点K，M，N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN，NM，MK，求HN+NM+MK的最小值．lKHAOxyBlKHAOxyB2.（2012山西改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误!未找到引用源。与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B，D两点的坐标．（2）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，并求出此时点M的坐标．3.（2008福建莆田）如图，抛物线经过A(﹣3，0)，B(0，4)，C(4，0)三点．ABCDOxy（1）求抛物线的解析式．（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时，另一动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值．（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4.（2011四川乐山）已知顶点为A(1，5)的抛物线错误!未找到引用源。经过点B(5，1)．ABCDPQOyxABCDPQOyx（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，设C，D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值．（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD．设点P(x，y)（x0）是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边，按图2所示构造等腰直角三角形PRQ．①当△PRQ与直线CD有公共点时，求x的取值范围；②在①的条件下，记△PRQ与△COD重叠部分的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求S的最大值．ABCDOxyABCDOxy图一RQPyxODCBA图二5.（2003湖北黄冈改编）已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线的顶点M的坐标．（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设OQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围．（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（4）将△OAC补成矩形，使得△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，且第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试求出矩形未知顶点的坐标．2-2-1yxMOCBA2-2-1yxMOCBAQN2-2-1yxMOCBA6.（2012四川南充）如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=错误!未找到引用源。，抛物线错误!未找到引用源。过点A(4，0)与点(﹣2，6).（1）求抛物线的函数解析式．（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D.动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动．点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值．（3）点R在x轴下方部分的抛物线上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标．2yxmODCBA2yxmODCBA7.（2012湖北荆门）如图，四边形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A，D，交y轴于点E，连接AB，AE，BE．已知tan∠CBE=错误!未找到引用源。，A(3，0)，D(﹣1，0)，E(0，3)．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标．（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线．（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D，E，P为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．xEyODCBAABCDOyExxEyODCBA8.（2012四川绵阳）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数错误!未找到引用源。的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点M，其中B(﹣3，0)，M(0，﹣1)．已知AM=BC．（1）求二次函数的解析式．（2）证明：在抛物线上存在点D，使A，B，C，D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形．并求出此时直线BD的函数解析式．（3）在（2）的条件下，设直线l过点D且分别交直线BA，BC于不同的P，Q两点，AC，BD相交于点N．①若直线l⊥BD，如图1所示，试求错误!未找到引用源。的值；②若l为满足条件的任意直线，如图2所示，①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，举出反例．图1lyxONMQPDCBA图2ABCDPQMNOxyl9.（2009湖南株洲）如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A，C在x轴上，点B的坐标为(3，m)（m0），线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的抛物线过B，D两点．（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(AC+EC)为定值．10.（2012浙江衢州）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A，C两点的直DFPQEyACOBxDFPQEyACOBx线分别交x轴、y轴于点E，F．抛物线错误!未找到引用源。经过O，A，C三点．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值．若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．FyxEDCBAOFyxEDCBAOFyxEDCBAO函数与几何综合1.（1）(30)(10)AB-，，，，证明略．（2）2333322yxx--．（3）8．2.（1）直线AC的解析式为y=3x+3，(30)(14)BD，，，．（2）9132()3535M，．3.（1）21433xyx-．（2）257t．（3）存在，128()241M，．4.（1）21119424yxx-．（2）102．（3）①24x≤≤；②当823x≤≤时，27448Sxx--；当843x≤时，21(4)4Sx-．当167x时，47maxS．5.（1）2192()24yxxM---，，．（2）235142Stt-1(2)2t．（3）存在，125735()()2424PP-，，，．（4）矩形未知顶点的坐标为1248(12)()()5555----，，，，，．6.（1）2122yxx-；（2）9s5t（）；（3）1155()432R，-．7.（1）223yxx-，B（1，4）；（2）证明略；（3）1231(00)(90)(0)3PPP-，，，，，；（4）22333022=19333222tttSttt--，，．8.（1）211=+166yxx-．（2）证明略，此时直线BD的解析式为13=22yx．（3）①1115BPBQ；②结论依然成立，证明略．9.（1）A（3-m，0）；（2）2=21yxx-；（3）FC(AC+EC)=8，证明略．10.（1）237=22yxx-；（2）存在，2133P，；（3）S存在最大值，最大值为38．