2013年初中数学奥数决赛试题初二

12013年初中数学奥数决赛试题初二年级一、选择题(本大题共5个小题，每小题6分，满分30分。)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的。请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。1.632013＋1472013A.一定能被10整除B.一定不能被10整除C.不一定能被10整除D.以上都不对2.如果x,y,z是三个自然数，那么,,222xyyzzx()．A.都是整数B.至少有一个整数C.至少有两个整数D.都不是整数3.小明和小亮在一个圆形溜冰场内滑冰．在两人同方向滑行时，小明时不时地能追上小亮，而在作反方向滑行时，他俩的相会次数更为频繁，并达到了原来的5倍．那么小明的滑冰速度是小亮的()倍．A.43B.23C.23D.344．将一张边长分别为x，y（x＞y）的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕的长为()A.22yxyxB.22xxyyC.22yxyxD.22xxyy5.已知a、b、c为实数，且aba+b=13，bcb+c=14，acc+a=15，则abcab+bc+ca的值为A.14B.15C.16D.17二、填空题(本大题共5个小题，每小题6分，满分30分)1．一个等腰三角形的周长是15cm，底边与腰长的差为3cm，这个三角形的各边长为．2．如图ABCDAB=x，AC=y，AD=z若以AB和CD分别绕着点B和点C旋转，使点A和D重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足。（只填序号）（1）x2z，（2）yx+2z，（3）y2zABCDEFG(第4题)23．朝阳中学为了了解八年级学生的身体情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试．将测试成绩整理后作出如下的条形统计图．已知跳绳次数不少于100次的同学占96％，从左到右第二组有12人，第一、二、三、四组的人数之比为2：4：17：15，如果这次测试的中位数是120次，那么这次测试中成绩为120次的学生至少有人．(注：每组含最小值，不含最大值)4.m取什么值时，方程组5331xymxy的解是正数？5.如图，点B、D在反比例函数30yxx的图象上，A、C在x轴上，△OBA，△ADC均为正三角形，则点D的坐标是.三、解答题（共5个小题，满分40分）1.（6分）科技书每本3元，文艺书每本5元，38元可买两种书各几本？2.（7分）已知点X（1，3）、Y（5，－2），在x轴上找一点P，使（1）XP+YP最小.(2)|XP－YP|最小.(3)|XP－YP|最大（第5图）CDABOyx33.（8分）选择一组m，n值使方程组572xymxyn（1）有无数多解，（2）无解，（3）有唯一的解4．（9分）x取什么值时，分式xxxx23222的值是零？是正数？是负数？5．（10分）在2012年国庆的演出中，朝阳中学有A、B、C、D四个班的同学参加演出，已知A、B两个班共16名演员，B、C两个班共20名演员，C、D两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A、B、C、D次序从小到大排列，求各班演员的人数．42013年初中数学奥数决赛试题初二年级参考答案一、选择题(本大题共5个小题，每小题6分，满分30分。)1.A解：∵2013＝4×503+1∴632013的个位数是3，1472013的个位数是7，∴632013＋1472013的和个位数是0，∴632013＋1472013的和能被10整除．2.B解：三个整数中至少有两个同奇偶，这两个数的和即为偶数，和的一半即为整数，故选B.3.C设小明的速度为v大，小亮的速度为v小，一圈的路程为s，则小大－vvs＝5·小大＋vvs，整理得4v大＝6v小4．A解：如图，设折痕EF与对角线AC的交点为G，则AC⊥EF，AG=CG，EG=FG．所以△AGE∽△ABC，得AGGEABBC，22AGEFGEBCAB=22yxyx.5.C由倒数法得：a+bab=3，b+cbc=4，c+aac=5，∴裂项得1a+1b=3，1b+1c=4，1c+1a=5，三式相加得1a+1b+1c＝6，即ab+bc+caabc=6，∴原式＝16二、填空题(本大题共5个小题，每小题6分，满分30分)1.6.6.3或4.4.7.解：设底边长为xcm，则腰长是2-15xcm当腰比底大时是2-15x－x=3∴x=32-15x＝6ABCDEFG(第4题)5当腰比底小时是x－2-15x=3∴x=72-15x=42.（2），（3）解：由已知AB=x，BC=y－x，CD=z－x要使AB，BC，CD组成三角形，必须满足下列不等式组：xyzxyxyyzxyzxyx即xzyzxzy2222∴222zxzxyzy答yx+2z和y2z必须满足．3．7（提示：第一组占4%，则第二组占8%，故总人数为150人，则中位数在第四组，且是从小到大排列的第75，76两个数的平均数，而本组的最小值为120，第70个数开始是120，因此120次至少有7个）4.6111053m解：把m作为已知数，解这个方程组得31325312mxmy∵00yx∴3130253102mm解不等式组得313315mm解集是6111053m5.12,36.提示：作BE⊥OA于E，DF⊥AC于F，易求OE=EA=1，设AF=m，6则(2,3)Dmm，代入3yx得2222210,2mmm0,12mm，∴12,36.三、解答题（共5个小题，满分40分）1.解：设科技书买x本，文艺书买y本，…………………1分根据题意得3x+5y=38（x，y都是正整数）…………………2分∵x＝1时，y=7，∴71yx是一个整数解∴通解是kykx3751（k为整数）解不等式组037051kk得解集是3751k∴整数k=0，1，2…………………4分把k=0，1，2代入通解，得原方程所有的正整数解71yx，46yx，111yx．…………………5分答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本．…………………6分(不求通解，使用其他方法计算正确，同样得分)2.（1）连XY交x轴于点P，则XP+PY最小，然后求出XY的解析式为y=-54x+414，再令y＝0，得x=175，∴点P（175，0）。…………………2分（2）连XY，作XY的中垂线交x轴于点P，则PX=PY,此时│XP-YP│最小。过X作XM⊥x轴于M,过Y作YN⊥x轴于N,（第5图）CDABOyx7则PM=│x-1│,PN=│5-x│,∵XM2+MP2=XP2=PY2=YN2+PN2,∴32+(x-1)2=22+(5-x)2,∴x=198∴P（198，0）…………………4分（3）作Y关于x轴的对称点Y′(5,2),设射线XY′交x轴于点P,则│XP-YP│=│XP-Y′P│最大，然后求出XY′的解析式为y=-14x+314,再令y=0得x=13,∴P(13,0)…………………7分3.解：（1）当5∶m=1∶2=7∶n时，方程组有无数多解解比例得m=10，n=14．…………………3分（2）当5∶m＝1∶2≠7∶n时，方程组无解．解得m=10，n≠14．…………………6分（3）当5∶m≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当m≠10时，n不论取什么值，原方程组都有唯一的解．…………………8分4.解：xxxx23222＝)2()3)(1xxxx（…………………2分以零点－2，－1，0，3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图）…………5分当x=－1，x=3时分子是0，分母不等于0，这时分式的值是零；………………7分当x－2，－1x0，x3时，分式的值是正数（∵负因数的个数是偶数）……8分当－2x－1，0x3时，分式的值是负数（∵负因数的个数是奇数）…………9分5.解：设A班有学生x人，B班有学生y人，C班有学生z人，D班有学生m人.…7分依题意得：x+y=16，y+z=20，z+m=34………………3分∵x＜y＜z＜m，∴x＜8，y＞8，y＜10，z＞10，z＜17，m＞17………………5分30-1-28由8＜y＜10且y只能取整数得，y=9………………8分∴z=11，m=23，x=7………………9分答：A、B、C、D各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。………………10分