机械振动学习题解答(三)

《机械振动学》习题解答（三）2013-05-151力法牛顿第二定律/动量矩定理2视察法对链式系统，直接写出结果3刚度法/柔度法刚度法——要使第j个广义坐标发生单位位移而其余广义坐标的位移为0，需要在第i个广义坐标上施加的力，即为刚度矩阵[K]中的元素kij柔度法——在第j个广义坐标上施加单位力，使第i个广义坐标发生的位移，即为柔度矩阵[A]中的元素aij4Lagrange方程多自由度系统列微分方程MxKxF212iiiiiiidLLDQLVUDcxdtxxx惯性力保守力阻尼力动能势能AMxxAFmxkxcx212mx212kxOk2xk1J0T2T1θT1mg解法一(力法)：设m相对平衡位置的位移为x，向下为正；J0相对平衡位置的转角为θ，顺时针为正。对m：对J0：11mxkRkx2－14如图所示，固定滑车力学模型中，起吊物品质量为m，滑轮绕中心O的转动惯量为J0，假定绳索与滑轮间无滑动，求系统的振动微分方程。整理可得微分方程：220112JkxRkRkR1121120000kkRmxxkRkkRJ注：重力项和弹簧静伸长抵消，因为mg=kΔ。（参见习题2-5）由θ单独引起的弹簧弹力（弹簧被压短）由x单独引起的弹簧弹力（弹簧被拉长）解法二（Lagrange方程）：设m相对平衡位置的位移为x；J0相对平衡位置的转角为θ。系统动能：系统势能：2201122VmxJOk2x将以上各式代入Lagrange方程：即得微分方程。k1J0θ2221211()22UkxRkRLVU2110112,,,()LLLLmxkxkRJkxRkkRxx0,0dLLdLLdtxxdt注：重力势能和弹簧静变形的弹性势能抵消。m解法三（刚度法）：设m相对平衡位置的位移为x，向下为正；J0相对平衡位置的转角为θ，顺时针为正。先令x=1，θ=0，要使系统受力平衡，须在m上施加向下的力k1，在J0上施加逆时针力矩k1R，即再令x=0，θ=1，要使系统受力平衡，须在m上施加向上的力k1R，在J0上施加顺时针力矩即因此微分方程为111211,kkkkROk2xk1J0θm21212212,()kkRkkkR1121120000kkRmxxkRkkRJ212()kkR解法四（柔度法）：设m相对平衡位置的位移为x，向下为正；J0相对平衡位置的转角为θ，顺时针为正。假设m受到一个向下的单位力，则弹簧k1相对平衡位置伸长1/k1，弹簧k2相对平衡位置伸长1/k2，所以x=1/k1+1/k2，θ=1/(k2R)，即假设J0受到一个顺时针方向的单位力矩，则弹簧k1相对平衡位置无变形，弹簧k2伸长1/k2R，所以x=1/k2R，θ=1/(k2R2)，即因此微分方程为1121122111+,aakkkROk2xk1J0θm122222211,aakRkR122202201/1/1/()001/()1/()mkkkRxxJkRkR2－15用视察法建立图示链式系统的振动微分方程。解：微分方程为1233111111334221122000kkkkmxccxxkkkmxccxx与m1相连的所有弹簧连接m1和m2之间的所有弹簧的负数对角阵对称阵(规则与刚度阵相同)对称阵与m2相连的所有弹簧m1k4k1k2k3c1m22－16绳索-质量系统的参数如图所示，设m1=2m2，各段绳索中的张力均为T。试用柔度法建立系统作微振动的微分方程。解法一：（柔度法）把m1和m2竖直方向的位移作为广义坐标，向下为正。对m1施加一竖直向下的单位力，使m1和m2产生的位移即为柔度系数a11和a21。同理，对m2施加一竖直向下的单位力，得柔度系数a12和a22。于是微分方程：Tm1m2T1θ1θ21211111211sinsin12sin/,sin/23TTLaaLaLTLLL211222202100123mxxLmxxT2111123LaaT11222410223xxmLxxT即解法二：（刚度法）把m1和m2竖直方向的位移作为广义坐标，向下为正。使m1产生竖直向下的单位位移，m2位置不变，需要对m1和m2施加的竖直向下的力，即为刚度系数k11和k21。同理，使m2产生竖直向下的单位位移，m1位置不变，得刚度系数k12和k22。于是微分方程：Tm1m2Tθ11111112sin2sin1/TkTkLLLLL21122220210012mxxTmxxLk11Tk21T121211sinsin1/TkTkLL2－17如图所示系统中，k1=k2=k3=k，m1=m2=m，r1=r2=r，J1=J2=J。求系统的振动微分方程。解：（力法）设J1和J2分别沿顺时针方向旋转了θ1和θ2。则弹簧内力分别为（均为拉伸）对J1和J2受力分析：k2于是微分方程：k1F1F2F2F3k3J1,r1J2,r2121220210012JkrJ11112211223322,,FkrFkrrFkrθ1θ2111111211221222112223222JkrrkrrrJkrrrkrr注：还可以用刚度法列方程。2－18行车载重小车运动的力学模型如图所示，小车质量为m1，受到两根刚度为k的弹簧的约束，悬挂物品质量为m2，悬挂长度为L，摆角θ很小，求系统的振动微分方程。解：（Lagrange方程）以m1水平方向的位移和m2的摆角为广义坐标。由于m2相对m1的速度为，m1的速度（即牵连速度）为，故m2的绝对速度为系统的动能为势能为kkLm1θm2Lx2222cosLxxL222212112cos22TmxmLxxL2211cos2UkkxmgL令L=T-U，列Lagrange方程：可得于是微分方程：d0dd0dLLtxxLLt0sin2sin2sin2cos22202sin22cos221gLmLxmLxmLxmLmkxLmLmxmm0222202221gLmxLmLmkxLmxmm12222222000mmmLkxxmLmLmgL略去高阶项，且，方程可化简为2sincos1，122/cosLxmmxmL222/cosLmLmxL22/sinsinLmgLmxL/2Lxkx微分方程令，代入方程得线性方程组要使方程有非零解，须，从而得固有频率。将代回线性方程组，得对应的振型。于是振型矩阵振型具有正交性：正则振型多自由度系统自由振动0MxKxitxXe20KMX2det0KMiiXi0TijXMXijTiiiXMXM12[]...uXX12(,...)TuMuMdiagMM将[M]换成[K]也成立1122[]//...uXMXM2212[,...]TTuMuIuKudiag微分方程令，方程可解耦令，方程可解耦1直接解令，得，解得2模态综合法先分析自由振动，得到振型和主坐标，使方程解耦，再解方程多自由度系统受迫振动0MxKx[]xuy11112222000000MyKyMyKy211122220000yyyy[]xuyMxKxFitxXe2KMXFX3－8求图示系统的固有频率和主振型（杆为刚性，不计质量）。解：(刚度法)以m和2m竖直方向的位移为广义坐标，向下为正。使m产生竖直向下的单位位移，2m位置不变，需要对m和2m施加的竖直向下的力，即为刚度系数k11和k21。k于是微分方程：kLm2mLL1121112220kkkkkLkLkL力平衡：力矩平衡：12224,5kkkk得同理可得：112205400245xxmkkxxmkk11215,4kkkk1k11k212kk微分方程线性方程组特征方程解得固有频率将固有频率代入线性方程组，得振幅比于是振型矩阵：112205400245xxmkkxxmkk22540452kmkkkm242221590mkmk22121531715317,44kkmm21112222553171.086416553170.461416BkmAkBkmAk111.0860.461u22540452AkmkBkkm2212注：!!!3－9如图所示均质杆的质心c点向下移动的位移x及杆顺时针方向转角θ为广义坐标，求系统的固有角频率和主振型。解：设杆的质心向下移动x且向顺时针方向旋转θ。分别分析杆的受力平衡和力矩平衡：k于是微分方程：kL/4mcL/4L/2224424LLxkLLxkJLxkLxkxm1422511124160200mkkLxxmLkLkL微分方程线性方程组特征方程解得固有频率将固有频率代入线性方程组，得振幅比于是振型矩阵：1422511124160200mkkLxxmLkLkL2142225114161220kmkLkLkLmL2142225114161220AkmkLBkLkLmL221223972397,88kkmm2111222227971.424/4227978.424/42BkmALkLLBkmALkLL111.4248.424uLL2212!!!3－10如图所示扭转振动系统中，kt1=kt2=kt，J1=2J2=2J。①求系统的固有频率和主振型；②设θ1(0)=1rad，θ2(0)=2rad，，求系统对初始条件的响应。解：设J1和J2的转角分别为θ1和θ2，分析其力矩平衡kt2于是微分方程：特征方程固有频率12(0)(0)0kt1J1θ1J2θ2111122122221tttJkkJk11222