2015年四川省雅安市高考数学三诊试卷(理科)

2015年四川省雅安市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={x|x2﹣x=0}，N={﹣1，0}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，1}C．{0}D．φ【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：根据集合的基本运算进行求解即可．【解析】：解：M={x|x2﹣x=0}={0，1}，N={﹣1，0}，则M∩N={0}，故选：C【点评】：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则x=（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2【考点】：平行向量与共线向量．【专题】：平面向量及应用．【分析】：利用向量共线定理即可得出．【解析】：解：∵∥，∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．故选：D．【点评】：本题考查了向量共线定理，属于基础题．3．（5分）设a，b∈R，则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解析】：解：若a≥1且b≥1则a+b≥2成立，当a=0，b=3时，满足a+b≥2，但a≥1且b≥1不成立，即“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件，故选：A【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件，比较基础．4．（5分）设α为锐角，若cos=，则sin的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】：二倍角的正弦；三角函数的化简求值．【专题】：三角函数的求值．【分析】：利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解析】：解：∵α为锐角，cos=，∴∈，∴==．则sin===．故选：B．【点评】：本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1B．2C．4D．7【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解析】：解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选C．【点评】：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）（2011•陕西）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．8﹣2πD．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题．【分析】：三视图复原的几何体是正方体，除去一个倒放的圆锥，根据三视图的数据，求出几何体的体积．【解析】：解：三视图复原的几何体是棱长为：2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为：2，底面半径为：1；所以几何体的体积是：8﹣=故选A．【点评】：本题是基础题，考查三视图复原几何体的判定，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．7．（5分）已知直线l：x﹣ky﹣5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=（）A．2B．±2C．±D．【考点】：平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，再利用点到直线的距离公式求得k的值．【解析】：解：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，等于=，故有=，求得k=±2，故选：B．【点评】：本题主要考查直线和圆相交的性质，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题．8．（5分）若实数a，b满足a2+b2≤1，则关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根的概率是（）A．B．C．D．【考点】：几何概型．【专题】：概率与统计．【分析】：易得总的基本事件包含的区域为单位圆，面积S=π，由根的存在性可得满足条件的区域为阴影部分，可求面积S′，由概率公式可得．【解析】：解：∵实数a，b满足a2+b2≤1，∴点（a，b）在单位圆内，圆面积S=π，∵关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣4（a+b）≥0，即a+b≤1，表示图中阴影部分，其面积S′=π﹣（π﹣）=+故所求概率P==故选：A．【点评】：本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的存在性和不等式与平面区域，属中档题．9．（5分）过抛物线x2=4y的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线l1，l2，则l1与l2的交点P的轨迹方程是（）A．y=﹣1B．y=﹣2C．y=x﹣1D．y=﹣x﹣1【考点】：轨迹方程．【专题】：导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由斜截式写出过焦点的直线方程，和抛物线方程联立求出A，B两点横坐标的积，再利用导数写出过A，B两点的切线方程，然后整体运算可求得两切线的交点的纵坐标为定值﹣1，从而得到两切线焦点的轨迹方程．【解析】：解：由抛物线x2=4y得其焦点坐标为F（0，1）．设A（），B（），直线l：y=kx+1，联立，得：x2﹣4kx﹣4=0．∴x1x2=﹣4…①．又抛物线方程为：，求导得，∴抛物线过点A的切线的斜率为，切线方程为…②抛物线过点B的切线的斜率为，切线方程为…③由①②③得：y=﹣1．∴l1与l2的交点P的轨迹方程是y=﹣1．故选：A．【点评】：本题考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，是中档题．10．（5分）对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数f（x）满足f（1）≠1，且对∀n∈N*，有f（n）+f（n+1）+f（f（n））=3n+1，则f（2015）=（）A．2014B．2015C．2016D．2017【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由于f（1）≠1，则f（1）=2，或f（1）≥3，若f（1）≥3，则令n=1，即有f（1）+f（2）+f（f（1））=4，即为f（2）+f（f（1））≤1这与f（x）≥1矛盾．故有f（1）=2，分别令n=1，2，3，4，…，求得几个特殊的函数值，归纳得到当n为奇数时，f（n）=n+1，当n为偶数时，f（n）=n﹣1．检验成立，即可得到f（2015）．【解析】：解：由于f（1）≠1，则f（1）=2，或f（1）≥3，若f（1）≥3，则令n=1，即有f（1）+f（2）+f（f（1））=4，即为f（2）+f（f（1））≤1这与f（x）≥1矛盾．故有f（1）=2，由f（1）+f（2）+f（f（1））=4，即2+f（2）+f（2）=4，解得f（2）=1，再由f（2）+f（3）+f（f（2））=7，解得f（3）=4，再由f（3）+f（4）+f（f（3））=10，解得f（4）=3，再由f（4）+f（5）+f（f（4））=13，解得f（5）=6，再由f（5）+f（6）+f（f（5））=16，解得f（6）=5，…归纳可得，当n为奇数时，f（n）=n+1，当n为偶数时，f（n）=n﹣1．经检验，当n为奇数时，f（n）+f（n+1）+f（f（n））=n+1+n+f（n+1）=2n+1+n=3n+1成立；同样n为偶数时，仍然成立．则f（2015）=2016．故选：C．【点评】：本题考查抽象函数的运用，主要考查赋值法的运用，通过几个特殊，计算得到结果再推出一般结论，再验证，是解本题的常用方法．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知（1+2i）z=3﹣i（i为虚数单位），则复数z=．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接由复数代数形式的除法运算化简求值即可得答案．【解析】：解：由（1+2i）z=3﹣i，得．故答案为：．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．12．（5分）在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为﹣1．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：概率与统计．【分析】：所有二项式系数的和是32，可得2n=32，解得n=5．在中，令x=1，可得展开式中各项系数的和．【解析】：解：∵所有二项式系数的和是32，∴2n=32，解得n=5．在中，令x=1，可得展开式中各项系数的和=（﹣1）5=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】：本题考查了二项式定理及其性质，考查了计算能力，属于基础题．13．（5分）若函数f（x）=（a+2）x2+2ax+1有零点，但不能用二分法求其零点，则a的值2或﹣1．【考点】：二次函数的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用二次函数的性质以及函数的零点判定定理推出结果即可．【解析】：解：函数f（x）=（a+2）x2+2ax+1有零点，说明函数是二次函数，函数的图象与x轴有一个交点，即△=4a2﹣4（a+2）=0解得a=2或﹣1故答案为：2或﹣1．【点评】：本题考查二次函数的性质，函数的零点判定定理的应用，考查计算能力．14．（5分）曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）和直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于π．【考点】：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：本题考查的知识点是诱导公式，二倍角公式及函数图象的交点，将y=2sin（x+）cos（x﹣）的解析式化简得y=sin（2x）+1，令y=，解得x=kπ+±（k∈N），代入易得|P2P4|的值．【解析】：解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2sin（x﹣+）cos（x﹣）=2cos（x﹣）cos（x﹣）=cos[2（x﹣）]+1=cos（2x﹣）+1=sin（2x）+1若y=2sin（x+）cos（x﹣）=则2x=2kπ+±（k∈N）x=kπ+±（k∈N）故|P2P4|=π故答案为：π【点评】：求两个函数图象的交点间的距离，关于是要求出交点的坐标，然后根据两点间的距离求法进行求解．15．（5分）以下命题，错误的是①②③（写出全部错误命题）①若f（x）=x3+（a﹣1）x2+3x+1没有极值点，则﹣2＜a＜4②f（x）=在区间（﹣3，+∞）上单调，则m≥③若函数f（x）=﹣m有两个零点，则m＜④已知f（x）=logax（0＜a＜1），k，m，n∈R+且不全等，．【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：导数的综合应用；简易逻辑．【分析】：①若f（x）没有极值点，则f′（x）=3x2+2（a﹣1）x+3≥0恒成立，可得△≤0，解出即可判断出正误；②f（x）在区间（﹣3，+∞）上单调，f′（x）=≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=时舍去，解出即可判断出正误；③f′（x）=，利用单调性可得：当x=e时，函数f（x）取得最大值，f（e）=．且x→0，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→﹣m．若函数f（x）有两个零点，则，解得即可判断出正误；④由于f（x）=logax（0＜a＜1），可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．k，m，n∈R+且不全等，kd，，，等号不全相等，即可判断出正误．【解析】：解：①若f（x）=x3+（a﹣1）x2+3x+1没有极值点，则f′（x）=3x2+2（a﹣1）x+3≥0恒成立，∴△=4（a﹣1）2﹣36≤0，解得﹣2≤a≤4，因此①不正确；②f（x）=在区间（﹣3，+∞）上单调，f′（x）=≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=时舍去，因此m∈R且m≠，因此②不正确；③f′（x）=，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，∴当x=e时，函数f（x）取得最大值，f（e）=．