2013年湖南省高考数学试卷(理科)及解析

2013年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2013•湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样解答：解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．故选D3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0C．D．5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3B．2C．1D．06．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．点评：本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具．7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1B．C．D．8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2B．1C．D．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．342472专题：直线与圆．分析：建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．解答：解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=故选D点评：本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为3．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．342472专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．解答：解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．点评：本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为12．考点：柯西不等式；柯西不等式的几何意义．342472专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12．解答：解：∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）∴a2+4b2+9c2≥12，当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12故答案为：12点评：本题给出等式a+2b+3c=6，求式子a2+4b2+9c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．11．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．考点：圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．342472专题：计算题．分析：首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率．解答：解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，∴2×2=CP•1，解得：CP=4，又PD=1，∴CD=5，又⊙O的半径为，则圆心O到弦CD的距离为d===故答案为：．点评：此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中考中热点问题．12．（5分）（2013•湖南）若，则常数T的值为3．考点：定积分．342472专题：计算题．分析：利用微积分基本定理即可求得．解答：解：==9，解得T=3，故答案为：3．点评：本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题．13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为9．考点：程序框图．342472专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．解答：解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环ab循环前/12第一圈是32第二圈是52第三圈是72第四圈是92第五圈否故最终输出的a值为9．故答案为：9．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2=30°的最小内角为30°，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．342472专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．解答：解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c=a所以e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．15．（5分）（2013•湖南）设Sn为数列{an}的前n项和，，n∈N*，则（1）a3=﹣；（2）S1+S2+…+S100=．考点：数列的求和；数列的函数特性．342472专题：等差数列与等比数列．分析：（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．解答：解：由，n∈N*，当n=1时，有，得．当n≥2时，．即．若n为偶数，则．所以（n为正奇数）；若n为奇数，则=．所以（n为正偶数）．所以（1）．故答案为﹣；（2）因为（n为正奇数），所以﹣，又（n为正偶数），所以．则．，．则．…．所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100====．故答案为．点评：本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为{x|0＜x≤1}．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．考点：命题的真假判断与应用；函数的零点；进行简单的合情推理．342472专题：阅读型．分析：（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得的范围，解出函数f（x）=ax+bx﹣cx的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；（2）对于①，把函数式f（x）=ax+bx﹣cx变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．解答：解：（1）因为c＞a，由c≥a+b=2a，所以，则．令f（x）=ax+bx﹣cx=．得，所以．所以0＜x≤1．故答案为{x|0＜x≤1}；（2）因为，又，所以对∀x∈（﹣∞，1），．所以命题①正确；令x=1，a=b=1，c=2．则ax=bx=1，cx=2．不能构成一个三角形的三条边长．所以命题②正确；若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0．f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0．所以∃x∈（1，2），使f（x）=0．所以命题③正确．故答案为①②③．点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖南）已知函数，．（I）若α是第一象限角，且，求g（α）的值；（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．342472专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（I）根据两角和与差的三角函数公式化简，得f（x）=sinx，结合解出sinα=，利用同角三角函数的基本关系算出cosα=．由二倍角的余弦公式进行降次，可得g（x）=1﹣cosx，即可算出g（α）=1﹣cosα=；（II）f（x）≥g（x），即sinx≥1﹣cosx，移项采用辅助角公式化简整理，得2sin（x+）≥1，再根据正弦函数的图象与性质，即