2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(陕西卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合2{|}Mxxx，{|lg0}Nxx，则MN（）A．[0,1]B．(0,1]C．[0,1)D．(,1]【答案】A【解析】试题分析：20,1xxx，lg001xxxx，所以0,1，故选A．考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．167B．137C．123D．93【答案】B考点：扇形图．3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6yxk，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．10【答案】C【解析】试题分析：由图象知：min2y，因为min3yk，所以32k，解得：5k，所以这段时间水深的最大值是max3358yk，故选C．考点：三角函数的图象与性质．4.二项式(1)()nxnN的展开式中2x的系数为15，则n（）A．4B．5C．6D．7【答案】C考点：二项式定理．5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3B．4C．24D．34【答案】D【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是1211222342，故选D．考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．6.“sincos”是“cos20”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为22cos2cossin0，所以sincos或sincos，因为“sincos”“cos20”，但“sincos”“cos20”，所以“sincos”是“cos20”的充分不必要条件，故选A．考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．7.对任意向量,ab，下列关系式中不恒成立的是（）A．||||||ababB．||||||||ababC．22()||ababD．22()()ababab【答案】B考点：1、向量的模；2、向量的数量积．8.根据右边的图，当输入x为2006时，输出的y（）A．28B．10C．4D．2【答案】B【解析】试题分析：初始条件：2006x；第1次运行：2004x；第2次运行：2002x；第3次运行：2000x；；第1003次运行：0x；第1004次运行：2x．不满足条件0?x，停止运行，所以输出的23110y，故选B．考点：程序框图．9.设()ln,0fxxab，若()pfab，()2abqf，1(()())2rfafb，则下列关系式中正确的是（）A．qrpB．qrpC．prqD．prq【答案】C考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128【答案】D【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利润34zxy由题意可列32122800xyxyxy，其表示如图阴影部分区域：当直线340xyz过点(2,3)A时，z取得最大值，所以max324318z，故选D．考点：线性规划．11.设复数(1)zxyi(,)xyR，若||1z，则yx的概率为（）A．3142B．1142C．112D．112【答案】B【解析】试题分析：2222(1)||(1)1(1)1zxyizxyxy如图可求得(1,1)A，(1,0)B，阴影面积等于21111114242若||1z，则yx的概率是211142142，故选B．考点：1、复数的模；2、几何概型．12.对二次函数2()fxaxbxc（a为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．-1是()fx的零点B．1是()fx的极值点C．3是()fx的极值D.点(2,8)在曲线()yfx上【答案】A考点：1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．【答案】5【解析】试题分析：设数列的首项为1a，则12015210102020a，所以15a，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．考点：等差中项．14.若抛物线22(0)ypxp的准线经过双曲线221xy的一个焦点，则p=．【答案】22考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．15.设曲线xye在点（0,1）处的切线与曲线1(0)yxx上点p处的切线垂直，则p的坐标为．【答案】1,1【解析】试题分析：因为xye，所以xye，所以曲线xye在点0,1处的切线的斜率0101xkye，设的坐标为00,xy（00x），则001yx，因为1yx，所以21yx，所以曲线1yx在点处的切线的斜率02201xxkyx，因为121kk，所以2011x，即201x，解得01x，因为00x，所以01x，所以01y，即的坐标是1,1，所以答案应填：1,1．考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案】1.2【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是11010222162，设抛物线的方程为22xpy（0p），因为该抛物线过点5,2，所以2225p，解得254p，所以2252xy，即2225yx，所以当前最大流量是5323535522224022255255257575753xdxxx，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403，所以答案应填：1.2．考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．（本小题满分12分）C的内角，，C所对的边分别为a，b，c．向量,3mab与cos,sinn平行．（I）求；（II）若7a，2b求C的面积．【答案】（I）3；（II）332．试题解析：（I）因为//mn，所以sin3cos0aBbA-=，由正弦定理，得sinAsinB3sinBcosA0-=又sin0，从而tan3A=，由于0A，所以3A(II)解法一：由余弦定理，得2222cosabcbcA=+-而7b2,a==3得2742cc=+-，即2230cc--=因为0c，所以3c=.故ABC的面积为133bcsinA22=.考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD中，D//C，D2，C1，D2，是D的中点，是C与的交点．将沿折起到1的位置，如图2．（I）证明：CD平面1C；（II）若平面1平面CD，求平面1C与平面1CD夹角的余弦值．【答案】（I）证明见解析；（II）63．试题解析：（I）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，BAD=2，所以BEAC即在图2中，BE1OA，BEOC从而BE平面1AOC又CDBE，所以CD平面1AOC.(II)由已知，平面1ABE平面BCDE，又由（1）知，BE1OA，BEOC所以1AOC为二面角1--CABE的平面角，所以1OC2A.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为11B=E=BC=ED=1AA,BCED所以12222(,0,0),E(,0,0),A(0,0,),C(0,,0),2222B-得22BC(,,0),22-122AC(0,,)22-，CDBE(2,0,0)==-.设平面1BCA的法向量1111(,,)nxyz=，平面1CDA的法向量2222(,,)nxyz=，平面1BCA与平面1CDA夹角为，则11100nBCnAC，得111100xyyz，取1(1,1,1)n=，22100nCDnAC，得22200xyz，取2(0,1,1)n，从而1226cos|cos,|332nn，即平面1BCA与平面1CDA夹角的余弦值为63.考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用.19．（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：（分钟）25303540频数（次）20304010（I）求的分布列与数学期望；（II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．【答案】（I）分布列见解析，32；（II）0.91．【解析】试题分析：（I）先算出的频率分布，进而可得的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望；（II）先设事件表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，再算出的概率．试题解析：（I）由统计结果可得T的频率分步为（分钟）25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为253035400.20.30.40.1从而250.2300.3350.4400.132ET（分钟）(II)设12,TT分别表示往、返所需时间，12,TT的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)PTTTTTT1212P(35,35)P(40,30)TTTT10.210.30.90.40.50.10.91.解法二：121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)PTTTTTT=+===+==12P(40,40)TT+==0.40.10.10.40.10.10.09故(A)1P(A)0.91P=-=.考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率.20．（本小题满分12分）已知椭圆:22221xyab（0ab）的半焦距为c，原点到经过两点,0c，0,b的直线的距离为12c．（I）求椭圆的离心率；（II）如图，是圆:225212xy的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】（I）32；（II）221123xy