2013年高考数学(理)一轮复习导学案30

学案30等比数列及其前n项和导学目标：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______________.3．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·________(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________________________．(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．(4)单调性：a10，q1或a100q1⇔{an}是________数列；a10，0q1或a10q1⇔{an}是________数列；q＝1⇔{an}是____数列；q0⇔{an}是________数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1qn－1q－1＝a1qnq－1－a1q－1.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．自我检测1．“b＝ac”是“a、b、c成等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是()A．3B．1C．0D．－13．(2011·温州月考)设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1(n∈N*)，则f(n)等于()A.27(8n－1)B.27(8n＋1－1)C.27(8n＋2－1)D.27(8n＋3－1)4．(2011·湖南长郡中学月考)已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a＋8，则an等于()A．8·32nB．8·23nC．8·32n－1D．8·23n－15．设{an}是公比为q的等比数列，|q|1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.探究点一等比数列的基本量运算例1已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn.变式迁移1在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，Sn＝126，求n和q.探究点二等比数列的判定例2(2011·岳阳月考)已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.(1)证明数列{an＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式以及Sn.变式迁移2设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．探究点三等比数列性质的应用例3(2011·湛江月考)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝2，求a3.变式迁移3(1)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.分类讨论思想与整体思想的应用例(12分)设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，它的前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项．【答题模板】解设数列{an}的公比为q，若q＝1，则Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn.∵S2n＝6560≠2Sn＝160，∴q≠1，[2分]由题意得a11－qn1－q＝80，①a11－q2n1－q＝6560.②[4分]将①整体代入②得80(1＋qn)＝6560，∴qn＝81.[6分]将qn＝81代入①得a1(1－81)＝80(1－q)，∴a1＝q－1，由a10，得q1，∴数列{an}为递增数列．[8分]∴an＝a1qn－1＝a1q·qn＝81·a1q＝54.∴a1q＝23.[10分]与a1＝q－1联立可得a1＝2，q＝3，∴a2n＝2×32n－1(n∈N*)．[12分]【突破思维障碍】(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a10,0q1时为递增数列；当a10，q1或a10,0q1时为递减数列；当q0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．(2)函数的思想：等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝a1q·qn(q0且q≠1)常和指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，a11－q当成整体求解．本题条件前n项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将qn和a11－qn1－q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．1．等比数列的通项公式、前n项公式分别为an＝a1qn－1，Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1.2．等比数列的判定方法：(1)定义法：即证明an＋1an＝q(q≠0，n∈N*)(q是与n值无关的常数)．(2)中项法：证明一个数列满足a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*且an·an＋1·an＋2≠0)．3．等比数列的性质：(1)an＝am·qn－m(n，m∈N*)；(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an；(3)设公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.4．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．5．等差数列与等比数列的关系是：(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；(2)若{an}是等比数列，且an0，则{lgan}构成等差数列．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·辽宁)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.152B.314C.334D.1722．(2010·浙江)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2等于()A．－11B．－8C．5D．113．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5等于()A．33B．72C．84D．1894．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是()A．T10B．T13C．T17D．T255．(2011·佛山模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则S10S5等于()A．－3B．5C．－31D．33题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为________．7．(2011·平顶山月考)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.8．(2010·福建)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)(2010·陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{2an}的前n项和Sn.10．(12分)(2011·廊坊模拟)已知数列{log2(an－1)}为等差数列，且a1＝3，a2＝5.(1)求证：数列{an－1}是等比数列；(2)求1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an的值．11．(14分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}对n∈N*均有c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2010.答案自主梳理1．公比q2.a1·qn－14.(1)qn－m(2)ak·al＝am·an(4)递增递减常摆动6.qn自我检测1．D2.B3.B4.C5.－9课堂活动区例1解题导引(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1，an，q，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；(2)本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1和q的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．解方法一由已知得：a21q4＋2a21q6＋a21q8＝100，a21q4－2a21q6＋a21q8＝36.①②①－②，得4a21q6＝64，∴a21q6＝16.③代入①，得16q2＋2×16＋16q2＝100.解得q2＝4或q2＝14.又数列{an}为正项数列，∴q＝2或12.当q＝2时，可得a1＝12，∴an＝12×2n－1＝2n－2，Sn＝12(1－2n)1－2＝2n－1－12；当q＝12时，可得a1＝32.∴an＝32×12n－1＝26－n.Sn＝321－12n1－12＝64－26－n.方法二∵a1a5＝a2a4＝a23，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝a25，由a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，可得a23＋2a3a5＋a25＝100，a23－2a3a5＋a25＝36，即(a3＋a5)2＝100，(a3－a5)2＝36.∴a3＋a5＝10，a3－a5＝±6.解得a3＝8，a5＝2，或a3＝2，a5＝8.当a3＝8，a5＝2时，q2＝a5a3＝28＝14.∵q0，∴q＝12，由a3＝a1q2＝8，得a1＝32，∴an＝32×12n－1＝26－n.Sn＝32－26－n×121－12＝64－26－n.当a3＝2，a5＝8时，q2＝82＝4，且q0，∴q＝2.由a3＝a1q2，得a1＝24＝12.∴an＝12×2n－1＝2n－2.Sn＝12(2n－1)2－1＝2n－1－12.变式迁移1解由题意得a2·an－1＝a1·an＝128，a1＋an＝66，解得a1＝64，an＝2或a1＝2，an＝64.若a1＝64，an＝2，则Sn＝a1－anq1－q＝64－2q1－q＝126，解得q＝12，此时，an＝2＝64·12n－1，∴n＝6.若a1＝2，an＝64，则Sn＝2－64q1－q＝126，∴q＝2.∴an＝64＝2·2n－1.∴n＝6.综上n＝6，q＝2或12.例2解题导引(1)证明数列是等比数列的两个基本