2013年高考数学总复习 1-2 命题、量词、逻辑联结词但因为测试 新人教B版

2013年高考数学总复习1-2命题、量词、逻辑联结词但因为测试新人教B版1.(2011·南昌模拟)下列命题是真命题的为()A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则logax＝logayD．若xy，则x2y2[答案]A[解析]当x2＝1时，x＝1或x＝－1，故B假；当x＝y＝－1时，logax无意义，故C假；当x＝－2，y＝1时，满足xy，但x2y2不成立，∴D假；当1x＝1y时，x＝y成立，故选A.2．(文)(2011·聊城模拟)下列命题中为假命题的是()A．∀x∈R,2x－10B．∀x∈N*，(x－1)20C．∃x∈R，lgx1D．∃x∈R，tanx＝2[答案]B[解析]由指数函数值域知2x－10恒成立；当x＝1时，lgx＝01；∵直线y＝2与y＝tanx有交点，∴方程tanx＝2有解；∴A、C、D都是真命题，当x＝1∈N*时，(x－1)20不成立，∴B为假命题．(理)(2011·山东实验中学模拟)下列命题中是真命题的为()A．∀x∈R，x2x＋1B．∀x∈R，x2≥x＋1C．∃x∈R，∀y∈R，xy2＝y2D．∀x∈R，∃y∈R，xy2[答案]C[解析]令f(x)＝x2－x－1，∵Δ0，∴f(x)的图象与x轴有交点，∴f(x)的值有正有负，故A、B假；令x＝－1，则对任意y∈R都有xy2，故D假．当x＝1时，∀y∈R，xy2＝y2，故C真．3．(2011·西安二检)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋10D．对任意的x∈R，x3－x2＋10[答案]C[解析]依题意得，命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x2＋10”，选C.4．(2011·辽宁铁岭六校联合考试)与命题“若p，则q”的否命题真假相同的命题是()A．若q，则pB．若綈p，则qC．若綈q，则pD．若綈p，则綈q[答案]A[解析]原命题的否命题与原命题的逆命题是等价命题，真假相同，故选A.5．(文)(2011·厦门模拟)已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．(綈p)∨qB．p∧qC．(綈p)∧(綈q)D．(綈p)∨(綈q)[答案]D[解析]由题知命题p为真命题，命题q为假命题，∴綈p为假命题，綈q为真命题，再由“或”命题一真为真，“且”命题一假为假知A、B、C都为假命题．(理)(2011·广东省东莞市一模)已知命题p：∃x∈(－∞，0)，2x3x；命题q：∀x∈(0，π2)，cosx1，则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∨(綈q)C．(綈p)∧qD．p∧(綈q)[答案]C[解析]在x∈(－∞，0)上，y＝2x的图象恒在y＝3x的上方，所以不存在这样的x使得2x3x成立，命题p为假命题，命题q为真命题，所以(綈p)∧q为真命题，故选C.6．(文)(2011·湖南十二校第二次联考)下列命题中的真命题是()A．∃x∈R，使得sinxcosx＝35B．∃x∈(－∞，0)，2x1C．∀x∈R，x2≥x－1D．∀x∈(0，π)，sinxcosx[答案]C[解析]由sinxcosx＝35，得sin2x＝651，故A错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知B，D错误；因为x2－x＋1＝(x－12)2＋340恒成立，所以C正确．(理)(2011·山东潍坊一模)下列命题中是真命题的是()A．若向量a，b满足a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若ab，则1a1bC．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列D．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝43成立[答案]D[解析]对于A，当a⊥b时，a·b＝0也成立，此时不一定是a＝0或b＝0；对于B，当a＝0，b＝1时，该命题就不成立；对于C，b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件；对于D，因为sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)∈[－2，2]，且43∈[－2，2]，所以该命题正确．7．(文)(2011·济南模拟)命题p：∃x∈R，lgx＝0，q：∀x∈R,2x0，命题(綈p)∧q的真假为________(填“真”或“假”)．[答案]假[解析]∵x＝1时，lgx＝0，∴p真；由指数函数值域知2x0恒成立，∴q真；∴(綈p)∧q为假．(理)(2010·江南十校联考)若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋90”为假命题，则实数a的取值范围是________．[答案]－22≤a≤22[解析]因为“∃x∈R,2x2－3ax＋90”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤22.8．已知命题p：1x2－x－20，则綈p对应的x的集合为________．[答案]{x|－1≤x≤2}[解析]由p：1x2－x－20得p：x2或x－1，所以綈p对应的x值的取值范围是{x|－1≤x≤2}．[点评]本题易形成错解：∵p的否定綈p为1x2－x－2≤0，即x2－x－20，解得1x2，错因是忽视了隐含条件的限制作用．9．(2010·安徽文)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________．[答案]对∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.10．(2010·马鞍山市质检)给出下列四个结论：①命题“∃x∈R，x2－x0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”②“若am2bm2，则ab”的逆命题为真；③已知直线l1：ax＋2y－1＝0，l2：x＋by＋2＝0，则l1⊥l2的充要条件是ab＝－2；④对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)且x0时，f′(x)0，g′(x)0，则x0时，f′(x)g′(x)．其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号)．[答案]①④[解析]①显然正确．②中命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是“若ab，则am2bm2”，当m＝0时不成立，故为假命题；③中l1⊥l2⇔a＋2b＝0，但a＋2b＝0与ab＝－2不等价，∵当a＝b＝0时，ab＝－2不成立，故③错；④由条件知，f(x)为奇函数，在x0时单调增，故x0时单调增，从而x0时，f′(x)0；g(x)为偶函数，x0时单调增，从而x0时单调减，∴x0时，g′(x)0，∴x0时，f′(x)g′(x)，故④正确.11.(2011·北京模拟)下列命题中，真命题是()A．∃x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12B．∀x∈(0，π)，sinxcosxC．∃x∈R，x2＋x＝－1D．∀x∈(0，＋∞)，ex1＋x[答案]D[解析]∵对任意x∈R，sin2x2＋cos2x2＝1，∴A假；当x＝π4时，sinx＝cosx，∴B假；对于函数y＝x2＋x＋1，∵Δ＝－30，∴y0恒成立，∴C假；对于函数y＝ex－x－1，∵y′＝ex－1，当x0时，y′0，∴y＝ex－x－1在(0，＋∞)上为增函数，∴ye0－0－1＝0，即ex1＋x恒成立，∴D真．12．(文)(2011·大连质检)下列命题中真命题的个数是()①∀x∈R，x4x2；②若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；③命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∃x∈R，x3－x2＋10”．A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]当x＝0时，x4x2不成立，∴①假；②③显然为真，故选B.(理)(2011·汕头模拟)下列说法中，正确的是()A．命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是真命题B．命题“∃x∈R，x2－x0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x1”是“x2”的充分不必要条件[答案]B[解析]命题“若am2bm2，则ab”的逆命题为“若ab，则am2bm2”为假命题，∵m＝0时，命题不成立；p∨q为真命题时，p、q至少一真，故C假；x1⇒/x2，但x2⇒x1，∴x1是x2的必要不充分条件，故D假，B显然为真．13．(2011·宿州模拟)已知命题p：∃x∈[0，π2]，cos2x＋cosx－m＝0为真命题，则实数m的取值范围是()A．[－98，－1]B．[－98，2]C．[－1,2]D．[－98，＋∞)[答案]C[解析]依题意：cos2x＋cosx－m＝0在x∈[0，π2]上有解，即cos2x＋cosx＝m在x∈[0，π2]上有解．令f(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2(cosx＋14)2－98，由于x∈[0，π2]，所以cosx∈[0,1]，于是f(x)∈[－1,2]，因此实数m的取值范围是[－1,2]．14．(文)(2011·长沙调研)下列结论：①若命题p：∃x∈R，tanx＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋10.则命题“p∧(綈q)”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是ab＝－3；③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)[答案]①③[解析]①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧(綈q)为假命题，故①正确；②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.(理)(2011·金华模拟)给出下列三个结论：①命题“∃x∈R，x2－x0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”②函数f(x)＝x－sinx(x∈R)有3个零点；③对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x0时，f′(x)0，g′(x)0，则x0时，f′(x)g′(x)．其中正确结论的序号是________．(填写所有正确结论的序号)[答案]①③[解析]①显然正确；由y＝x与y＝sinx的图象可知，函数f(x)＝x－sinx(x∈R)有1个零点，②不正确；对于③，由题设知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，又奇函数在关于原点对称区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称区间上单调性相反，∴x0时，f′(x)0，g′(x)0，∴f′(x)g′(x)，③正确．15．(文)已知函数f(x)是R上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．[解析](1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，真命题．用反证法证明：设a＋b0，则a－b，b－a，∵f(x)是R上的增函数，∴f(a)f(－b)，f(b)f(－a)，∴f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)，这与题设矛盾，所以逆命题为真．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)，则a＋b0，为真命题．由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真．∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，又∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，∴原命题真，故逆否命题为真．(理)(2010·聊城市模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．(1)求证：“如果直线l过点T(3,0)，那么OA→·OB→＝3”是真命题；(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解析](1)设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2＝2x于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时，直线l与抛物线相交于点A(3，6)、B(3，－6)．∴OA→·OB→＝3.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)，其中k≠0.由y2＝