2013年高考数学总复习5-3平面向量的数量积但因为测试新人教B版

2013年高考数学总复习5-3平面向量的数量积但因为测试新人教B版1.对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中为真命题的是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c[答案]B[解析]a·b＝0⇒a⊥b，故A错；a2＝b2⇔|a|＝|b|，得不出a＝±b，不要与实数x、y满足|x|＝|y|⇔x＝±y混淆，故C错；a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0，同A知D错，故选B.2．(文)(2010·湖南理)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16[答案]D[解析]因为∠C＝90°，所以AC→·CB→＝0，所以AB→·AC→＝(AC→＋CB→)·AC→＝|AC→|2＋AC→·CB→＝AC2＝16.(理)(2010·天津文)如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC→＝3BD→，|AD→|＝1，则AC→·AD→＝()A．23B.32C.33D.3[答案]D[解析]∵AC→＝AB→＋BC→＝AB→＋3BD→，∴AC→·AD→＝(AB→＋3BD→)·AD→＝AB→·AD→＋3BD→·AD→，又∵AB⊥AD，∴AB→·AD→＝0，∴AC→·AD→＝3BD→·AD→＝3|BD→|·|AD→|·cos∠ADB＝3|BD→|·cos∠ADB＝3·|AD→|＝3.3．(文)(2011·郑州一测)若向量a、b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝32，则向量a、b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]C[解析]∵(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋a·b＝32，∴a·b＝12，即|a||b|cos〈a，b〉＝12，∴cos〈a，b〉＝12，∴〈a，b〉＝60°，故选C.(理)(2011·郑州六校质量检测)已知a、b为非零向量，m＝a＋tb(t∈R)，若|a|＝1，|b|＝2，当且仅当t＝14时，|m|取得最小值，则向量a、b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案]C[解析]∵m＝a＋tb，|a|＝1，|b|＝2，令向量a、b的夹角为θ，∴|m|＝|a＋tb|＝|a|2＋t2|b|2＋2t|a||b|cosθ＝4t2＋4tcosθ＋1＝t＋cosθ22＋1－cos2θ.又∵当且仅当t＝14时，|m|最小，即14＋cosθ2＝0，∴cosθ＝－12，∴θ＝23π.故选C.4．(文)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的射影数量是()A.12B．1C．2D．3[答案]B[解析]向量b在a上的射影数量为l＝b·a|a|＝|b|·cos60°＝1.(理)(2011·天津宝坻质量调查)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上，满足2OA→＋AB→＋AC→＝0(其中O为坐标原点)，又|AB→|＝|OA→|，则向量BA→在向量BC→方向上的射影数量为()A．1B．－1C.12D．－12[答案]C[解析]由2OA→＋AB→＋AC→＝(OA→＋AB→)＋(OA→＋AC→)＝OB→＋OC→＝0得，OB→＝－OC→，即O，B，C三点共线．又|AB→|＝|OA→|＝1，故向量BA→在向量BC→方向上的射影数量为|BA→|cosπ3＝12.5．(2011·汕头二检)若平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.3B．23C．4D．12[答案]B[解析]∵a＝(2,0)，∴|a|＝2，∵|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝2×1×cos60°＝1，∴|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝12，∴|a＋2b|＝23.6．(文)(2010·广西南宁二中模考)在△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，设向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，则∠A的大小为()A.2π3B.π3C.π2D.π4[答案]B[解析]m·n＝b(b－c)＋c2－a2＝c2＋b2－a2－bc＝0，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∵0Aπ，∴A＝π3.(理)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a与b的夹角为60°，直线xcosα－ysinα＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝12的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．随α，β值的变化而变化[答案]B[解析]|a|＝1，|b|＝1，a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，∵〈a，b〉＝60°，∴cos60°＝a·b|a|·|b|，∴cos(α－β)＝12，圆心(cosβ，－sinβ)到直线xcosα－ycosα＝0的距离d＝|cosβcosα＋sinβsinα|cos2α＋sin2α＝|cos(α－β)|＝1222，∴直线与圆相交．7．(2011·新课全国文，13)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.[答案]1[解析]由a＋b与ka－b垂直知(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2－ab＋ka·b－b2＝0，又由|a|＝|b|＝1知(k－1)(a·b＋1)＝0，若a·b＝－1，则a与b夹角180°，与a，b不共线矛盾，∴k－1＝0，∴k＝1.8．(2011·江西文，11)已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.[答案]－6[解析]∵〈e1，e2〉＝π3，|e1|＝1，|e2|＝1，∴b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3|e1|2－2e1·e2－8|e1|2＝3－2cosπ3－8＝－6.9．已知OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)．(1)若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．(2)若△ABC为Rt△，且∠A为直角，则m＝______.[答案](1)m∈R且m≠12；(2)74[解析](1)若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线．∵AB→＝(3,1)，AC→＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)≠2－m，∴m≠12.即实数m≠12，满足条件．(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则AB→⊥AC→，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝74.10．(文)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．[解析](1)由题设知AB→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则AB→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)．所以|AB→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC→＝(－2，－1)，AB→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)．由(AB→－tOC→)·OC→＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，所以t＝－115.(理)设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α360°)，b＝(－12，32)．(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．[解析](1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－(14＋34)＝0，故a＋b与a－b垂直．(2)由|3a＋b|＝|a－3b|，两边平方得3|a|2＋23a·b＋|b|2＝|a|2－23a·b＋3|b|2，所以2(|a|2－|b|2)＋43a·b＝0，而|a|＝|b|，所以a·b＝0，则(－12)×cosα＋32×sinα＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°，即α＝k·180°＋30°，k∈Z，又0°≤α360°，则α＝30°或α＝210°.11.(2011·广东佛山质检)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.π2[答案]B[解析]由a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，得b＝(4,2)－2·(1,1)＝(2,0)．设向量a，b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝222＝22，∴θ＝π4.12．(文)(2011·上海文，18)设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点，则使MA1→＋MA2→＋MA3→＋MA4→＝0成立的点M的个数为()A．0B．1C．2D．4[答案]B[解析]设A1A2中点为P，A3A4中点为Q，则MA1→＋MA2→＝2MP→，MA3→＋MA4→＝2MQ→，∴2MP→＋2MQ→＝0，即MP→＝－MQ→，∴M为PQ中点，所以有且只有一个点适合条件．(理)(2011·河北冀州期末)过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若AF→＝FB→，BA→·BC→＝48，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝16xD．y2＝42x[答案]B[解析]如图，△ABC为直角三角形，由抛物线定义及条件知，|AC|＝|AF|＝|FB|＝12|AB|，∴∠ABC＝π6，设|AC|＝t，则|AB|＝2t，∴|BC|＝3t，∴BA→·BC→＝|BA→|·|BC→|·cos∠ABC＝2t·3t·cosπ6＝3t2＝48，∴t＝4，∴p＝|DF|＝2，∴抛物线方程为y2＝4x，故选B.13．(2011·日照二模)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB→·AC→＝()A．－32B．－23C.23D.32[答案]D[解析]AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·cos∠BAC＝|AB→|·|AC→|·|AB→|2＋|AC→|2－|BC→|22|AB→|·|AC→|＝32.14．(文)(2011·菏泽模拟)已知向量OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k＝________.[答案]－23[解析]∵A、B、C三点共线，∴AB→与AC→共线，∵AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(－2k，－2)，∴－2(4－k)－(－7)·(－2k)＝0，∴k＝－23.(理)(2011·东城区示范校练习)若等边三角形ABC的边长为23，平面内一点M满足CM→＝16CB→＋23CA→，则MA→·MB→＝________.[答案]－2[解析]以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C三点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，(0,3)．设M点的坐标为(x，y)，则CM→＝(x，y－3)，CB→＝(3，－3)，CA→＝((－3，－3)，又CM→＝16CB→＋23CA→，即(x，y－3)＝(－32，－52)，可得M(－32，12)，所以MA→·MB→＝－2.15．设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.[解析](1)由a与b－2c垂直．a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.(2)b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β最大值为32，∴|b＋c|的最大值为42.(3)由tanαtanβ＝16得sinαsinβ＝16cosαcosβ即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0∴a∥b.*16.(2011·宁波十校联考)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(