2013年高考数学总复习8-3直线圆与圆的位置关系及空间直角坐标系但因为测试新人教B版

基础巩固强化1.(文)(2011·深圳二模)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定[答案]A[解析]解法一：圆心(0,1)到直线的距离d＝|m|m2＋115，故选A.解法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的，故选A.(理)(2012·重庆理，3)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心[答案]C[解析]本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式．圆心C(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝11＋k2≤12.所以直线与圆相交，故选C.[点评]圆与直线的位置关系一般运用圆心到直线的距离d与圆的半径关系判断．若直线过定点，也可通过该点在圆内，圆外，圆上去判断．如本题中直线y＝kx＋1过定点M(0,1)，M在圆内．2．(2011·济南二模)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有|a－3＋4|2＝22，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(x－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件．3．(2011·东北三校联考)若a、b、c是直角三角形的三边(c为斜边)，则圆x2＋y2＝2截直线ax＋by＋c＝0所得的弦长等于()A．1B．2C.3D．23[答案]B[解析]∵a、b、c是直角三角形的三条边，∴a2＋b2＝c2.设圆心O到直线ax＋by＋c＝0的距离为d，则d＝|c|a2＋b2＝1，∴直线被圆所截得的弦长为222－12＝2.4．(2011·潍坊模拟)已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是()A．x－2y＋1＝0B．2x－y－1＝0C．x－y＋3＝0D．x－y－3＝0[答案]D[解析]解法一：圆心O(0,0)，C(3，－3)的中点P(32，－32)在直线l上，排除A、B、C，选D.解法二：两圆方程相减得，6x－6y－18＝0，即x－y－3＝0，故选D.[点评]直线l为两圆心连线段的中垂线．5．(2012·山东文，9)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离[答案]B[解析]本题考查圆与圆的位置关系．两圆圆心分别为A(－2,0)，B(2,1)，半径分别为r1＝2，r2＝3，|AB|＝17，∵3－2172＋3，∴两圆相交．6．(文)(2012·福建文，7)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于()A．25B．23C.3D．1[答案]B[解析]本题考查了圆的弦长问题．如图可知d＝|－2|1＋3＝1，∴|AB|＝2|BC|＝222－12＝23.[点评]涉及到直线与圆相交的弦长问题，优先用Rt△OCB这一勾股关系，在椭圆中的弦长问题则选用弦长公式l＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.(理)(2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25，则圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为()A.56B.16C.13D.23[答案]B[解析]⊙C上的点到直线l：4x＋3y＝25的距离等于2的点，在直线l1：4x＋3y＝15上，圆心到l1的距离d＝3，圆半径r＝23，∴⊙C截l1的弦长为|AB|＝2r2－d2＝23，∴圆心角∠AOB＝π3，AB︵的长为⊙C周长的16，故选B.7．(2012·北京东城区示范校练习)已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________．[答案]x－y－2＝0[解析]由题易知，直线l是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是(0,0)，(2，－2)，于是其中点坐标是(1，－1)，又过两圆圆心的直线的斜率是－1，所以直线l的斜率是1，于是可得直线l的方程为：y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.[点评]两圆方程相减，即可得出对称直线方程．8．(文)(2012·皖南八校第三次联考)已知点P(1，－2)，以Q为圆心的圆Q：(x－4)2＋(y－2)2＝9，以PQ为直径作圆与圆Q交于A、B两点，连接PA、PB，则∠APB的余弦值为________．[答案]725[解析]由题意可知QA⊥PA，QB⊥PB，故PA，PB是圆Q的两条切线，cos∠APB＝2cos2∠APQ－1＝2×(45)2－1＝725.(理)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，O为原点，且OA→·OB→＝2，则实数a的值等于________．[答案]±6[解析]本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算．设OA→、OB→的夹角为θ，则OA→·OB→＝R2·cosθ＝4cosθ＝2，∴cosθ＝12，∴θ＝π3，则弦AB的长|AB|＝2，弦心距为3，由圆心(0,0)到直线的距离公式有：|0＋0－a|2＝3，解之得a＝±6.9．(文)与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．[答案](x－2)2＋(y－2)2＝2[解析]∵⊙A：(x－6)2＋(y－6)2＝18的圆心A(6,6)，半径r1＝32，∵A到l的距离52，∴所求圆B的直径2r2＝22，即r2＝2.设B(m，n)，则由BA⊥l得n－6m－6＝1，又∵B到l距离为2，∴|m＋n－2|2＝2，解出m＝2，n＝2.(理)(2011·杭州二检)已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．[答案](x－1)2＋(y＋1)2＝9[解析]设圆心为M(x，y)，由|AB|＝6知，圆M的半径r＝3，则|MC|＝3，即x－12＋y＋12＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.10．(文)已知圆C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0.(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．[解析](1)将圆的方程配方，得(x＋12)2＋(y－3)2＝37－4m4，故有37－4m40，解得m374.将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得x＋2y－3＝0，x2＋y2＋x－6y＋4m＝0，消去y，得x2＋(3－x2)2＋x－6×3－x2＋m＝0，整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0，①∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解，故有Δ＝102－4×5(4m－27)0，解得m8.∴m的取值范围是(8，374)．(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OP⊥OQ，得OP→·OQ→＝0，由x1x2＋y1y2＝0，②由(1)及根与系数的关系得，x1＋x2＝－2，x1·x2＝4m－275③又∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，∴y1·y2＝3－x12·3－x22＝14[9－3(x1＋x2)＋x1·x2]，将③代入上式，得y1·y2＝m＋125，④将③④代入②得x1·x2＋y1·y2＝4m－275＋m＋125＝0，解得m＝3，代入方程①检验得Δ0成立，∴m＝3.(理)已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，一动直线l过A(－1,0)与圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；(2)当PQ＝23时，求直线l的方程；(3)探索AM→·AN→是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．[解析](1)证明：因为l与m垂直，且km＝－13，kl＝3，故直线l：y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0.显然圆心(0,3)在直线l上，即当l与m垂直时，l必过圆心．(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，因为PQ＝23，所以CM＝4－3＝1，则由CM＝|－3＋k|k2＋1＝1，得k＝43.所以直线l：4x－3y＋4＝0.从而所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.(3)因为CM⊥MN，所以AM→·AN→＝(AC→＋CM→)·AN→＝AC→·AN→＋CM→·AN→＝AC→·AN→.①当l与x轴垂直时，易得N(－1，－53)，则AN→＝(0，－53)，又AC→＝(1,3)，所以AM→·AN→＝AC→·AN→＝－5.②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由y＝kx＋1x＋3y＋6＝0，得N－3k＋61＋3k，－5k1＋3k，则AN→＝－51＋3k，－5k1＋3k.所以AM→·AN→＝AC→·AN→＝－5.综上，AM→·AN→与直线l的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且AM→·AN→＝－5.能力拓展提升11.(2011·济南模拟)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为()A．－1或3B．1或3C．－2或6D．0或4[答案]D[解析]圆心(a,0)到直线x－y＝2的距离d＝|a－2|2，则(2)2＋(|a－2|2)2＝22，∴a＝0或4.12．(2011·银川部分中学联考)已知直线l经过坐标原点，且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为()A．y＝－3xB．y＝3xC．y＝－33xD．y＝33x[答案]C[解析]由题易知，圆的方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2,0)，半径为1，如图，经过原点的圆的切线，当切点在第四象限时，切线的倾斜角为150°，切线的斜率为tan150°＝－33，故直线l的方程为y＝－33x，选C.13．(文)(2011·天津模拟)过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为()A．2B．23C．3D．25[答案]B[解析]当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时，|AB|取最小值23.(理)(2011·宝鸡五月质检)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|(其中O为坐标原点)，则实数a等于()A．2B．－2C．2或－2D.6或－6[答案]C[解析]∵|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，∴|OA→|2＋|OB→|2＋2OA→·OB→＝|OA→|2＋|OB→|2－2OA→·OB→，∴OA→·OB→＝0，∴OA→⊥OB→，画图易知A、B为圆x2＋y2＝4与两坐标轴的交点，又A、B是直线x＋y＝a与圆的交点，∴a＝2或－2.14．(文)若圆C：x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆x2＋y2＝1关于直线l1：x－y－1＝0对称，动圆P与圆C相外切且与直线l2：x＝－1相切，则动圆P的圆心的轨迹方程是________．[答案]y2－6x＋2y－2＝0[解析]由题意知圆C的圆心为C(a2，－1)，圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，由两圆关于直线l1对称，易得点(0,0)关于直线l1：x－y－1＝0对称的点(1，－1)就是点C，故a＝2，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，其半径为1.设动圆P的圆心为P(x，y)，半径为r，由动圆P与圆C相外切可得：|PC|＝r＋1，由图可知，圆心P一定在直线x＝－1的右侧，所以由动圆P与直线l2：x＝－1相切可得r＝x－(－1)＝x＋1.代入|PC|＝r＋1得：x－12＋y＋12＝x＋2，整理得：y2－6x＋2y－2＝0.(理)(2012·天津，12)设m、n∈R