2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学1-6

1.若函数f(x)＝14x－1≤x04x0≤x≤1，则f(log43)＝()A.13B.43C．3D．4[答案]C[解析]∵0log431，∴f(log43)＝4log43＝3.2．(文)下列四个数中最大的是()A．(ln2)2B．ln(ln2)C．ln2D．ln2[答案]D[解析]由0ln21，得ln(ln2)0，因此，ln(ln2)肯定是最小的一个；由于lnx为增函数，因此ln2ln2；那么最大的只能是A或D；因为0ln21，故(ln2)2ln2.(理)(2011·重庆文，6)设a＝log1312，b＝log1323，c＝log343，则a、b、c的大小关系是()A．abcB．cbaC．bacD．bca[答案]B[解析]∵a＝log1312，b＝log1323，∵log13x单调递减而1223∴ab且a0，b0，又c0.故cba.3．(2010·上海大同中学模考)如果一个点是一个指数函数的图象与一个同底的对数函数图象的公共点，那么称这个点为“世博点”．在下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G(2，12)中，“世博点”的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]B[解析]∵指数函数与同底的对数函数的图象关于直线y＝x对称，故若它们有交点，则交点一定在直线y＝x上，而M(1,1)不适合题意，故只有点Q满足题意．4．(文)函数f(x)＝|log12x|的图象是()[答案]A[解析]f(x)＝|log12x|＝|log2x|＝log2xx≥1－log2x0x1，故选A.[点评]可用筛选取求解，f(x)的定义域为{x|x0}，排除B、D，f(x)≥0，排除C，故选A.(理)函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是()[答案]B[解析]f(x)＝ln|x－1|＝lnx－1x1ln1－xx1，∵x≠1排除A，又x1时，f(x)为增函数，排除C、D.5．(2011·四川文，4)函数y＝(12)x＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是()[答案]A[解析]解法一：作y＝(12)x的图象，然后向上平移1个单位，得y＝(12)x＋1的图象，再把图象关于y＝x对称即可．解法二：令x＝0得y＝2，∴对称图象过点(2,0)，排除C、D；又令x＝－1得y＝3，∴对称图象过点(3，－1)，排除B，故选A.6．函数y＝log12(x2－5x＋6)的单调增区间为()A．(52，＋∞)B．(3，＋∞)C．(－∞，52)D．(－∞，2)[答案]D[解析]由x2－5x＋60得x3或x2，由s＝x2－5x＋6＝(x－52)2－14知s＝x2－5x＋6在区间(3，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，2)上是减函数，因此函数y＝log12(x2－5x＋6)的单调增区间是(－∞，2)，选D.7．(文)函数y＝log232－x2的定义域为________．[答案]{x|1≤x2或－2x≤－1}[解析]要使函数有意义，应满足log23(2－x2)≥0，∵y＝log23x为减函数，∴02－x2≤1，∴1≤x22，∴1≤x2或－2x≤－1.(理)函数f(x)＝ln1＋1x－1的定义域是________．[答案](－∞，0)∪(1，＋∞)[解析]要使f(x)有意义，应有1＋1x－10，∴xx－10，∴x0或x1.8．方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是________．[答案]x＝5[解析]原方程化为log3(x2－10)＝log3(3x)，由于log3x在(0，＋∞)上严格单增，则x2－10＝3x，解之得x1＝5，x2＝－2.∵要使log3x有意义，应有x0，∴x＝5.1.(2010·合肥质检)函数f(x)＝lnx－x2＋2xx02x＋1x≤0的零点个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]D[解析]f(x)＝2x＋1(x≤0)有一个零点x＝－12，而f(x)＝lnx－x2＋2x(x0)的零点可以借助于y1＝lnx(x0)与y2＝x2－2x(x0)的图象来确定，它们的图象有两个交点，选D.2．设正数x、y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是()A．(0,6]B．[6，＋∞)C．[1＋7，＋∞)D．(0,1＋7][答案]B[解析]∵log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y＝log2(xy)，∴x＋y＋3＝xy.由x、y∈R＋知xy≤(x＋y2)2，∴x＋y＋3≤(x＋y2)2.令x＋y＝A，∴A＋3≤A24，∴A≥6或A≤－2(舍去)，故选B.3．为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点()A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度[答案]C[解析]由y＝lgx＋310得到y＝lg(x＋3)－1，由y＝lgx图象上所有点向左平移3个单位，得到y＝lg(x＋3)的图象，再向下平移一个单位得到y＝lg(x＋3)－1的图象．故选C.4．(文)设函数f(x)＝log2x，x0，log12－x，x0，若f(a)f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)[答案]C[解析]当a0时，由f(a)f(－a)得：log2alog12a，即log2alog21a，即a1a，解得a1；当a0时，由f(a)f(－a)得：log12(－a)log2(－a)，即log2(－1a)log2(－a)，即－1a－a，解得－1a0，故选C.(理)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)＝2012x＋log2012x，则方程f(x)＝0的实根的个数为()A．1B．2C．3D．5[答案]C[解析]当x0时，f(x)＝0即2012x＝－log2012x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2012x，f2(x)＝－log2012x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3.5．(文)(2011·湖北重点中学联考)已知实数a、b满足等式log12a＝log13b，有下列四个关系式：①0ab1；②ba1；③a＝b；④0a1b.其中不可能成立的关系式是________．[答案]①④[解析]在同一直角坐标系中作出y＝log12x和y＝log13x的图象，通过图象分析，可知成立的关系式有(ⅰ)0ba1；(ⅱ)b＝a＝1；(ⅲ)1ab.由此可知①④不可能成立．(理)(2011·荆州二检)函数y＝loga(x＋3)－1(a0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn0，则1m＋2n的最小值为________．[答案]8[解析]∵函数y＝loga(x＋3)－1的图象恒过点(－2，－1)，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，于是1m＋2n＝(1m＋2n)(2m＋n)＝2＋2＋nm＋4mn≥8.等号在n＝12，m＝14时成立．6．(文)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a0且a≠1)．(1)证明函数f(x)的图象在y轴的一侧；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是f(x)图象上两点，证明直线AB的斜率大于0.[解析](1)由ax－10，得ax1.当a1时，解得x0，此时f(x)的图象在y轴右侧；当0a1时，解得x0，此时f(x)的图象在y轴左侧．∴对a0且a≠1的任意实数a，f(x)的图象总在y轴一侧．(2)①当a1时，x0，由0x1x2得，1ax1ax2，∴0ax1－1ax2－1，即ax2－1ax1－11.∴f(x2)－f(x1)＝loga(ax2－1)－loga(ax1－1)＝logaax2－1ax1－10.直线AB的斜率kAB＝fx2－fx1x2－x10.②当0a1时，由x1x20得，ax1ax21，f(x2)－f(x1)0.同上可得kAB0.(理)(2010·石狮质检)已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．[解析](1)由题意，3－ax0对一切x∈[0,2]恒成立，∵a0且a≠1，∴g(x)＝3－ax在[0,2]上是减函数，从而g(2)＝3－2a0得a32.∴a的取值范围为(0,1)∪1，32.(2)假设存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.由题设f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，∴a＝32，此时f(x)＝log323－32x，当x＝2时，函数f(x)没有意义，故这样的实数a不存在．7．(文)(2010·南通模拟)已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a0，且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)若函数f(x)有最小值为－2，求a的值．[解析](1)由1－x0x＋30得－3x1，所以函数的定义域为{x|－3x1}．f(x)＝loga(1－x)(x＋3)，设t＝(1－x)(x＋3)＝4－(x＋1)2，所以t≤4，又t0，则0t≤4.当a1时，y≤loga4，值域为{y|y≤loga4}，当0a1时，y≥loga4，值域为{y|y≥loga4}．(2)由题意及(1)知：当0a1时，函数有最小值，所以loga4＝－2，解得a＝12.(理)已知函数f(x)＝log122－axx－1(a是常数且a2)．(1)求f(x)的定义域；(2)若f(x)在区间(2,4)上是增函数，求a的取值范围．[解析](1)∵2－axx－10，∴(ax－2)(x－1)0，①当a0时，函数的定义域为－∞，2a∪(1，＋∞)；②当a＝0时，函数的定义域为(1，＋∞)；③当0a2时，函数的定义域为1，2a.(2)∵f(x)在(2,4)上是增函数，∴只要使2－axx－1在(2,4)上是减函数且恒为正即可．令g(x)＝2－axx－1，1°当a＝0时，g(x)＝2x－1在(2,4)递减，且g(4)0满足题意；2°当a≠0时，显然a≠2，解法一：g′(x)＝－ax－1－2－axx－12＝a－2x－12，∴当a－20，即a2时，g′(x)≤0.①a0时，g(4)0满足题意；②0a2时，必有2a≥4，∴0a≤12.综上所述，a∈－∞，12.解法二：∵g(x)＝2－axx－1＝－a＋2－ax－1，∴要使g(x)＝－a＋2－ax＋1在(2,4)上是减函数，只需2－a0，∴a2，以下步骤同解法一．1．设函数f(x)＝logax(a0且a≠1)，若xi0(i＝1,2，…，2011)，f(x1·x2·x3·…·x2011)＝50，则f(x21)＋f(x22)＋f(x23)＋…＋f(x22011)的值等于()A．2500B．50C．100D．loga50[答案]C[分析]根据对数的运算性质，loga(MN)＝logaM＋logaN，logaM2＝2logaM(M0，N0)求解．[解析]由f(x1·x2·x3·…·x2011)＝50得，logax1＋logax2＋…＋logax2011＝50而f(x21)＋