精讲精练：因式分解方法分类总结-培优(含答案)

..因式分解·提公因式法【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1.把下列各式因式分解（1）axabxacxaxmmmm2213（2）aababaabba()()()32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。解：axabxacxaxaxaxbxcxmmmmm221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，()()()()abbaabbannnn222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。解：aababaabba()()()32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223bbababaabbaababaabaabbaabaa2.利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。解：原式)521456268123(1368987987136813689873.在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组23532xyxy，求代数式()()()22332xyxyxxy的值。分析：不要求解方程组，我们可以把2xy和53xy看成整体，它们的值分别是3和2，观察代数式，发现每一项都含有2xy，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2xy和53xy的式子，即可求出结果。解：..()()()()()()()223322233253xyxyxxyxyxyxxyxy把2xy和53xy分别为3和2带入上式，求得代数式的值是6。4.在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n，323222nnnn一定是10的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。323233222222nnnnnnnn3312211035222nnnn()()对任意自然数n，103n和52n都是10的倍数。323222nnnn一定是10的倍数5、中考点拨：例1。因式分解322xxx()()解：322xxx()()322231xxxxx()()()()说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。例2．分解因式：412132qpp()()解：412132qpp()()412121211212213222qpppqppqpq()()()[()]()()说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示：例1.计算：200020012001200120002000精析与解答：设2000a，则20011a200020012001200120002000aaaaaaaaaaaa[()()]()()()()()()1000011110000110001110001110001100010说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有200120001的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。例2.已知：xbxc2（b、c为整数）是xx42625及3428542xxx..的公因式，求b、c的值。分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦。注意到xbxc2是362542()xx及3428542xxx的因式。因而也是()3428542xxx的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。解：xbxc2是362542()xx及3428542xxx的公因式也是多项式3625342854242()()xxxxx的二次因式而362534285142542422()()()xxxxxxxb、c为整数得：xbxcxx2225bc25，说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式1428702xx，从而简便求得xbxc2。例3.设x为整数，试判断1052xxx()是质数还是合数，请说明理由。解：1052xxx()52225()()()()xxxxxxx25，都是大于1的自然数()()xx25是合数说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。【实战模拟】1.分解因式：（1）41222332mnmnmn（2）axabxacxadxnnnn2211（n为正整数）（3）aababaabba()()()3222222.计算：()()221110的结果是（）A.2100B.210C.2D.13.已知x、y都是正整数，且xxyyyx()()12，求x、y。4.证明：812797913能被45整除。5.化简：111121995xxxxxxx()()()…，且当x0时，求原式的值。..试题答案1.分析与解答：（1）41222332mnmnmn226122mnmnmn()（2）axabxacxadxnnnn2211axaxbxcxdn132()（3）原式aabaababab()()()322222aabababaababaab()[()]()()()22222333注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。2.B3.xxyyyx()()12()()xyxy12xy、是正整数12分解成1122634，，又xy与xy奇偶性相同，且xyxyxyxyxy2642说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。4.证明：812797913333393135335345282726262624224()812797913能被45整除5.解：逐次分解：原式()()()()111121995xxxxxx…()()()()()()()()11111111219953419951996xxxxxxxxxxx…………当x0时，原式1..因式分解·公式法【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式ababab22()()完全平方公式aabbab2222()立方和、立方差公式ababaabb3322()()补充：欧拉公式：abcabcabcabcabbcca3332223()()12222()[()()()]abcabbcca特别地：（1）当abc0时，有abcabc3333（2）当c0时，欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1.把aabb2222分解因式的结果是（）A.()()()abab22B.()()abab2C.()()abab2D.()()abba2222分析：aabbaabbab22222222212111()()。再利用平方差公式进行分解，最后得到()()abab2，故选择B。说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式232xxm有一个因式是21x，求m的值。分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m的值。解：根据已知条件，设221322xxmxxaxb()()则222123232xxmxaxabxb()()由此可得21112023aabmb()()()由（1）得a1把a1代入（2），得b12把b12代入（3），得m123.在几何题中的应用。..例：已知abc、、是ABC的三条边，且满足abcabbcac2220，试判断ABC的形状。分析：因为题中有abab22、、，考虑到要用完全平方公式，首先要把ab转成2ab。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。解：abcabbcac22202222220222abcabbcac()()()aabbbbcccaca2222222220()()()abbcca2220()()()abbcca222000，，abbcca000，，abcABC为等边三角形。4.在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。解：设这两个连续奇数分别为2123nn，（n为整数）则()()232122nn()()()()2321232124481nnnnnn由此可见，()()232122nn一定是8的倍数。5、中考点拨：例1：因式分解：xxy324________。解：xxyxxyxxyxy32224422()()()说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。例2：分解因式：2883223xyxyxy_________。解：288244322322xyxyxyxyxxyy()222xyxy()说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示：例1.已知：ambmcm121122123，，，求aabbaccbc222222的值。解：aabbaccbc222222..()()abcabc222()abc2ambmcm121122123，，原式()abc2()()()1211221231422mmmm说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。例2.已知abcabc00333，，求证：abc5550证明：abcabcabcabcabbcca3332223()()把abcabc00333，代入上式，可得abc0，即