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119.2特殊的平行四边形1.菱形具有而矩形不一定具有的特征是().A.对角相等且互补B.对角线互相平分C.一组对边平行,另一组对边相等;D.对角线互相垂直知识点:矩形、菱形、正方形的性质知识点的描述:矩形的性质:矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等菱形的性质:菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直,每一条对角线平分一组对角正方形具有矩形和菱形的全部性质解:A只有矩形有,B和C菱形和矩形都有,D菱形具有而矩形不一定具有答案:D1.下列说法正确的有()(1)矩形的对角线互相垂直(2)正方形的面积是对角线的平方的一半(3)菱形的对角线平分一组对角(4)正方形是平行四边形也是菱形A.1个B.2个C.3个D.4个解:(1)不正确,菱形的对角线互相垂直,矩形的对角线不一定垂直。正确的有(2)(正方形是菱形)(3)(4),答案:C2.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,设有下列条件:(1)AB=AD,(2)∠DAB=90°,(3)BO=DO,AO=CO,(4)矩形ABCD,(5)菱形ABCD,(6)正方形ABCD,则下列推理中不成立的是().(1).(6)(4)A(1).(5)(3)B(1).(6)(2)C(2).(4)(3)D2知识点:矩形、菱形、正方形的判定知识点的描述:矩形的判定一:有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形的判定二:有三个角是直角的三角形是矩形矩形的判定三:对角线相等的平行四边形是矩形菱形的判定一:一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形的判定二:四条边都相等的四边形是菱形菱形的判定三:对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形的判定:既是矩形又是菱形的四边形是正方形解:A成立,一组邻边相等的矩形是正方形B成立,一组邻边相等的平行四边形是菱形C不成立,D成立,一个直角的平行四边形是矩形答案:C2.下列说法中:(1)对角线互相平分互相垂直的四边形是矩形.(2)对角线相等的四边形是矩形.(3)对角线相等并且互相垂直的四边形是正方形.(4)一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.正确的个数是().A.1个B.2个C.3个D.4个解:(1)对角线互相平分互相垂直的四边形是菱形不一定是矩形∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AC⊥BD,∴□ABCD是菱形.(2)对角线相等的四边形不一定是矩形(如图),对角线相等的平行四边形才是矩形3(3)对角线相等并且互相垂直的四边形不一定是正方形,如图(4)一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.如图所示,在ABCD中,∠1=∠2,∠3=∠4,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD.∴∠2=∠3.∵∠1=∠2,∴∠1=∠3.∴AD=CD.∴□ABCD为菱形.答案:A3.如图所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点D,∠AOD=120°,AB=4cm,那么矩形的对角线的长().A.4cmB.2cmC.43cmD.8cm知识点:矩形的性质知识点的描述:矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等解:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD.又∵OA=OC=12AC,OB=OD=12BD,∴OA=OD.4∵∠AOD=120°,∴∠ODA=∠OAD=30°.又∵∠DAB=90°,∴BD=2AB=2×4=8(cm).答案:D3.如图所示,在矩形ABCD中,E为AD上一点,EF⊥CE交AB于点F,若DE=2,矩形的周长为16,且CE=EF,求AE的长().A.2B.3C.4D.6解:在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°.∵CE⊥EF,∴∠AEF+∠DEC=90°.又∵∠AFE+∠AEF=90°,∴∠AFE=∠DEC.∵EF=CE,∴△AEF≌△DCE(AAS).∴AE=DC.又∵矩形的周长为16,∴2(AE+DE+DC)=16,即2AE+2=8.∴AE=3.答案:B4.如图所示的是我们熟悉的衣帽架,它是由三个菱形组成的,菱形的边长为20cm,(1)当处于图(1)所示的形状时,衣帽架总长为72cm,这时衣帽架的宽度是()(2)我们把衣帽架拉开,如图(2)所示,使总长度变为96cm,则它的宽度变成了()A.(1)16cm(2)18cmB.(1)32cm(2)24cmC.(1)18cm(2)163cmD.(1)16cm(2)24cm知识点:菱形的性质知识点的描述:菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直,每一条对角线平分一组对角解:(1)由图(1)可以作出如图甲的图形.连接AC,BD,则BD=72÷3=24(cm),∵四边形ABCD是菱形,5∴AC⊥BD,OB=12BD=12×24=12(cm),AC=2OA.∵AB=20cm,∴OA=22222012ABOB=16(cm).∴AC=2×16=32(cm).∴衣帽架的宽度是32cm.(2)由图(2)可以作出如图乙的图形,连接AC,BD,则BD=96÷3=32(cm).由(1)中方法可得OA=12cm,∴AC=2×12=24(cm).∴衣帽架的宽度变成24cm.答案:B4.在菱形ABCD中,∠DAB=120°,如果它的一条对角线长为12cm,求菱形ABCD的边长().A.43cmB.18cmC.12cmD.12cm或43cm解:(1)若对角线AC=12cm,如图甲所示.∵四边形ABCD是菱形,∴∠DAC=∠BAC=12∠DAB,AB=BC=CD=AD,AD∥BC.∴∠DAC=∠ACB,∠DAB+∠B=180°.∵∠DAB=120°,∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=∠B=60°.∴△ABC为等边三角形.∴AB=AC=AC=12cm,即菱形ABCD的边长为12cm.(2)若对角线BD=12cm,如图乙所示,连接AC,交BD于点O.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AB∥CD,AD=CD=AB=BC,∠BAO=∠DAO=12∠DAB,OA=12AC,OD=12BD.∴∠DAB+∠ADC=180°,∠BAO=∠DCA,OD=6cm.6∵∠DAB=120°,∴∠ADC=∠BAO=∠DAO=∠DCA=60°.∴△ADC为等边三角形,∴AC=AD.∴OA=12AD.设OA=x,则AD=2x.∵AC⊥BD,∴AD2=AO2+OD2,即(2x)2=x2+62.∴x=23.∴AD=2×23=43(cm).∴AD=CD=AB=BC=43cm,即菱形的边长为43cm.综上所述,菱形的边长为12cm或43cm.答案:D5.如图所示,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线CE于点E,交∠BCA的外角平分线CF于点F.(1)求证:OE=OF.(2)当O点运动到何处时,四边形AECF为矩形?().A.当O点运动到AC中点时B.当O点运动到EF中点时C.当O点运动到A点时D.当O点运动到C点时知识点:矩形的判定知识点的描述:矩形的判定一:有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形的判定二:有三个角是直角的三角形是矩形矩形的判定三:对角线相等的平行四边形是矩形证明:(1)∵MN∥BC,∴∠OEC=∠BCE.又∵∠OCE=∠BCE,∴∠OEC=∠OCE,∴EO=CO.同理,FO=CO,∴OE=OF.(2)∵CE,CF分别是∠ACB和∠ACD的平分线,7∴∠OCE+∠OCF=12(∠ACB+∠ACD)=12×180°=90°,即∠ECF=90°.而EO=OF,∴当O点运动到AC中点时,AO=CO,四边形AECF为平行四边形,∴O是AC中点时,四边形AECF为矩形.答案:A5.如图所示,从△ABC的三边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD,△BCE,△ACF,请回答下列问题:(1)四边形ADEF是什么四边形?(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?()A.直角三角形B.等腰三角形C.∠BAC=150°D.∠BAC=90°解:(1)四边形ADEF是平行四边形.∵△ABD,△BEC都是等边三角形,∴BD=AB,BE=BC,∠DBA=∠EBC=60°.∴∠DBE=60°-∠EBA,∠ABC=60°-∠EBA.∴∠DBE=∠ABC.∴△DBE≌△ABC,∴DE=AC.又∵△ACF是等边三角形,∴AC=AF,∴DE=AF.同理,可以说明AD=EF.∴四边形ADEF是平行四边形.(2)若四边形ADEF为矩形,则∠DAF=90°.∵∠DAB=∠FAC=60°,∴∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°.∴当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.答案:C6.如图所示,在△ABC中,AB=AC,P为BC的中点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,EM⊥AC于M,FN⊥AB于N,EM与FN相交于点Q,那么四边形PEQF是菱形还是矩形?说8明你的理由.()A.是矩形B.是菱形知识点:菱形的判定知识点的描述:菱形的判定一:一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形的判定二:四条边都相等的四边形是菱形菱形的判定三:对角线互相垂直的平行四边形是菱形解:四边形PEQF是菱形.理由如下:∵PE⊥AB,FN⊥AB,∴PE∥FN.同理,PF∥EM.∴四边形PEQF是平行四边形.∵AB=AC,∴∠B=∠C.又∵PE⊥AB,PF⊥AC,∴∠BEP=∠CFP=90°.又∵BP=CP,∴△BEP≌△CFP(AAS).∴PE=PF.∴四边形PEQF是菱形.答案:B6.如图所示,□ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD,BC,AC分别交于点E,F,O,连接AF,EC,则四边形AFCE是菱形吗?为什么?A.是B.不是解:四边形AFCE是菱形.∵点E在AC的垂直平分线上,∴AE=EC.同理,AF=FC.∴∠1=∠3.又∵AE∥FC,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.9又∵CO⊥EF,∴∠COF=∠COE=90°,∴△COF≌△COE.∴CF=CE.∴AE=EC=CF=FA.∴四边形AFCE是菱形.答案:A7.如图所示,AB,CD交于点E,AD=AE,CE=BC,F,G,H分别是DE,BE,AC的中点.(1)求证:AF⊥DE.(2)∠HFG和∠FGH的关系().A.∠HFG=∠FGH.B.∠HFG和∠FGH互余C.∠HFG和∠FGH互补D.∠HFG和∠FGH没有必然的联系知识点:直角三角形的性质知识点的描述:直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半解:(1)∵F为DE中点.∴AF为△ADE的高.∵AD=AE,∴AF⊥DE.(2)连接CG.∵CB=CE,G为BE中点,∴CG⊥BE.∴∠AFC=∠AGC=90°.∵H为AC中点,∴FH=12AC,GH=12AC.∴FH=GH.∴∠HFG=∠FGH.答案:A7.已知直角三角形两直角边的长分别为6cm和8cm,求斜边上的中线长().A.8cmB.6cmC.10cmD.5cm解:在△ABC中,10OBCADMEF∵∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.∴AC2+BC2=AB2.∴AB=222268ACBC=10(cm).∵CD是AB边上的中线,∴CD=12AB=12×10=5(cm).答案:D8、如图,已知正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一动点,则DN+MN的最小值为()。A.6B.8C.10D.82知识点:正方形的性质知识点的描述:正方形具有矩形和菱形的全部性质解:联结NB,可以证明无论N在什么位置,DN=BN所以联结BM,即为DN+MN的最小值在Rt△MCB中求得BM=10答案:C8、如图,正方形ABCD的边长为32,AC、BD相交于O。M是BC上的任意一点,ME⊥BD于E,MF⊥AC于F,求ME+MF的长()A.3B.32C.6D.2211解:联结OMS△OBC=14S正方形ABCD=14(32)2=92Rt△OCB中,OB=OC,BC=32∴OB=OC=3∵S△OBC=S△OBM+S△OMC∴92=12×OB×ME+12×OC×MF∴92=32×ME+32×MF∴ME+MF=3答案:A9.如图所示,在菱形ABCD中,AB=4,E为BC中点,AE⊥BC,垂足为E,求菱形
本文标题:2012年平行四边行常考知识点同步练习二
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