2012年数学文科高考题分类专题四平面向量数系的扩充与复数的引入

专题四平面向量、数系的扩充与复数的引入1.(2012·高考广东卷)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈π4，π2，且a∘b和b∘a都在集合n2|n∈Z中，则a∘b＝()A.52B.32C．1D.122.(2012·高考陕西卷)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3.(2012·高考陕西卷)设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1，2cosθ)垂直，则cos2θ等于()A.22B.12C．0D．－14.(2012·高考江西卷)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为()A．0B．－1C．1D．－25.(2012·高考大纲全国卷)△ABC中，AB边的高为CD，若CB→＝a，CA→＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD→＝()A.13a－13bB.23a－23bC.35a－35bD.45a－45b6.(2012·高考北京卷)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________．7.(2012·高考山东卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP→的坐标为________．8.(2012·高考江苏卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→·AF→＝2，则AE→·BF→的值是________．9.(2012·高考安徽卷)设向量a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________．10.(2012·高考上海卷)在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足|BM→||BC→|＝|CN→||CD→|，则AM→·AN→的取值范围是__________．专题四平面向量、数系的扩充与复数的引入1.Da∘b＝a·bb·b＝|a|·|b|cosθ|b|2＝|a|cosθ|b|，同理有b∘a＝|b|cosθ|a|，a∘b和b∘a都在集合n2n∈Z中，即2|a|cosθ|b|和2|b|cosθ|a|是整数，取θ＝π3，则|a||b|和|b||a|是整数，则|a||b|＝|b||a|＝1，则a∘b＝12.2.Bab＝0，即a＝0，或b＝0或a＝0且b＝0，a＋bi＝a－bi为纯虚数，∴a＝0且b≠0.由小范围是大范围成立的充分不必要条件．∴“ab＝0”是“a＋bi”为纯虚数的必要不充分条件．3.Ca＝(1，cosθ)，b＝(－1，2cosθ)，∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0.∴－1＋1＋cos2θ＝0，即cos2θ＝0.4.Az2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2＋2i2＝0.5.D∵AD→＝AC→＋CD→，CD→＝CB→＋BD→，AB→＝CB→－CA→＝AD→＋DB→，∴AD→＝45a－45b，故选D.6.11DE→·CB→＝(DA→＋AE→)·CB→＝DA→2＋AE→·CB→＝DA→2＋0＝1，DE→·DC→＝|DE→|·|DC→|cos〈DE→，DC→〉＝cos〈DE→，DC→〉≤1.当且仅当cos〈DE→，DC→〉＝1，即〈DB→，DC→〉＝π2时取“＝”号．7.(2－sin2，1－cos2)如图：x＝2－cos(2－π2)＝2－sin2，y＝1＋sin(2－π2)＝1－cos2，故P(2－sin2，1－cos2)，∴OP→＝(2－sin2，1－cos2)．8.2由AB→·AF→＝AB→·(AD→＋DF→)＝2得|DF→|＝1，再由AE→·BF→＝(AB→＋BE→)·(BC→＋CF→)易求．9.2a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)，a＋c＝(3，3m)，由(a＋c)⊥b，知(a＋c)·b＝(3，3m)·(m＋1，1)＝0，∴3(m＋1)＋3m＝0，∴m＝－12，∴a＝(1，－1)，|a|＝2.10.[1，4]矩形如图所示设|BM→||BC→|＝λ(0≤λ≤1)，则BM→＝λBC→，CN→－λCD→，∴DN→＝(λ－1)CD→，∴AM→·AN→＝(AB→＋BM→)·(AD→＋DN→)＝AB→·AD→＋BM→·AD→＋AB→·DN→＋BM→·DN→＝0＋λBC→·AD→＋AB→·(λ－1)CD→＋0＝λ|BC→||AD→|＋(λ－1)×(－1)|AB→||DC→|＝λ×12－(λ－1)×22＝4－3λ.又0≤λ≤1，∴1≤4－3λ≤4，即AM→·AN→的取值范围为[1，4]．