2013年徐汇区高三数学一模试卷及参考答案(文理综合)

2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（文理合卷）（考试时间：120分钟，满分150分）2013.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．方程组2132xyxy的增广矩阵是__________________.2.已知幂函数()fx的图像过点18,2，则此幂函数的解析式是()fx_____________.3．（理）若为第四象限角，且4sin25，则sin2___________.（文）若4cos5，则2cos___________.4．若抛物线22(0)ypxp的焦点与双曲线221610xy的右焦点重合，则实数p的值是.5．函数()sin()(0,0,||)2fxAxA的部分图像如右图所示，则()fx_________.6．（理）若(1,2)n是直线l的一个法向量，则直线l的倾斜角的大小为_________________.（文）若(1,2)n是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角的大小为_________________.(结果用反三角函数值表示)7．（理）不等式21200210321xx≥的解为.（文）不等式210xx≥　1　2　　2的解为.8．高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是.(结果用最简分数表示)9．如图所示的程序框图，输出b的结果是_________.10．（理）已知等比数列}{na的首项11a，公比为(0)qq，前n项和为nS，若1lim1nnnSS，则公比q的取值范围是.（文）数列na的通项公式*1,1()1,2(1)nnanNnnn，前n项和为nS，则limnnS=_____________.11.（理）若平面向量ia满足1(1,2,3,4)iai且10(1,2,3)iiaai,则1234aaaa可能的值有____________个.（文）边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，E在线段AB上运动，则ECEM的取值范围是____________.12．（理）在ABC中，060A，M是AB的中点，若2,23ABBC，D在线段AC上运动，则DBDM的最小值为____________.（文）函数()min2,2fxxx，其中,min,,aababbab，若动直线ym与函数()yfx的图像有三个不同的交点，则实数m的取值范围是______________.13．（理）函数()min2,2fxxx，其中,min,,aababbab，若动直线ym与函数()yfx的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,xxx，则123xxx是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.（文）若平面向量满足且,则的最大值为.14．已知线段010AA的长度为10，点129,,,AAA依次将线段010AA十等分.在0A处标0，往右数1点标1，再往右数2点标2，再往右数3点标3……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照0A10A0A10A的方向顺序，不断标下去，（理）那么标到2010这个数时，所在点上的最小数为_____________.（文）那么标到10这个数时，所在点上的最小数为_____________.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．下列排列数中，等于*(5)(6)(12)(13,)nnnnnN的是（）(A)712nP(B)75nP(C)85nP(D)812nP16．在ABC中，“cossincossinAABB”是“090C”的（）(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件17．若函数21()axfxx在0,上单调递增，那么实数a的取值范围是（）(A)0a(B)0a(C)0a(D)0a18．（理）对于直角坐标平面xOy内的点(,)Axy(不是原点),A的“对偶点”B是指：满足1OAOB且在射线OA上的那个点.若,,,PQRS是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”'''',,,PQRS（）(A)一定共线(B)一定共圆(C)要么共线，要么共圆(D)既不共线，也不共圆（文）对于直角坐标平面xOy内的点(,)Axy（不是原点），A的“对偶点”B是指：满足1OAOB且在射线OA上的那个点.则圆心在原点的圆的对偶图形（）(A)一定为圆(B)一定为椭圆(C)可能为圆，也可能为椭圆(D)既不是圆，也不是椭圆三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)已知集合3{|0}4xAxx，实数a使得集合|()(5)0Bxxax满足AB，求a的取值范围.20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数)(xf=21log1xx.(1)判断函数)(xf的奇偶性，并证明；(2)求)(xf的反函数)(1xf，并求使得函数12()()loggxfxk有零点的实数k的取值范围.21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（理）某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为40Rcm，同侧前后两轮胎之间的距离(指轮胎中心之间距离)为280lcm(假定四个轮胎中心构成一个矩形).当该型号汽车开上一段上坡路ABC（如图(1)所示，其中ABC(34)）,且前轮E已在BC段上时，后轮中心在F位置；若前轮中心到达G处时，后轮中心在H处(假定该汽车能顺利驶上该上坡路).设前轮中心在E和G处时与地面的接触点分别为S和T，且60BScm,100STcm.(其它因素忽略不计)(1)如图(2)所示，FH和GE的延长线交于点O，求证：40cot602OE(cm)；(2)当=56时，后轮中心从F处移动到H处实际移动了多少厘米?(精确到1cm)（文）某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为40Rcm，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上.该车的涉水安全要求．．．．．．是：水面不能超过它的底盘高度.如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑ABC形成顶角为0120的等腰三角形，且60ABBCcm，如果地面上有()hcm(40h)高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计).(1)当轮胎与AB、BC同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为803103dh；(2)假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求．．．．．．)，求h的最大值.(精确到1cm).22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.第3小题满分6分.（理）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点为(1,0)F，点2(1,)2在椭圆C上，点T满足（其中O为坐标原点），过点F作一直线交椭圆于P、Q两点.(1)求椭圆C的方程；(2)求PQT面积的最大值；(3)设点P为点P关于x轴的对称点，判断与的位置关系，并说明理由.（文）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点为(1,0)F，点2(1,)2在椭圆C上，点T满足（其中O为坐标原点）,过点F作一斜率为(0)kk的直线交椭圆于P、Q两点(其中P点在x轴上方，Q点在x轴下方).(1)求椭圆C的方程；(2)若1k，求PQT的面积；(3)设点P为点P关于x轴的对称点，判断与的位置关系，并说明理由.23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.第3小题满分8分.（理）对于数列{}nx，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列.某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数a,公比为正整数(1)qq的无穷等比数列{}na的子数列问题.为此，他任取了其中三项,,()kmnaaakmn.(1)若,,()kmnaaakmn成等比数列,求,,kmn之间满足的等量关系；(2)他猜想：“在上述数列{}na中存在一个子数列{}nb是等差数列”，为此，他研究了knaa与2ma的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；(3)他又想：在首项为正整数a,公差为正整数d的无穷等差数列中是否存在成等比数列的子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.（文）对于数列{}nx，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列.某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为1a,公差为d的无穷等差数列{}na的子数列问题，为此，他取了其中第一项1a，第三项3a和第五项5a.(1)若135,,aaa成等比数列,求d的值；(2)在11a,3d的无穷等差数列{}na中，是否存在无穷子数列{}nb，使得数列{}nb为等比数列？若存在，请给出数列{}nb的通项公式并证明；若不存在，说明理由；(3)他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数a，公比为正整数q(1q)的无穷等比数列{}nc,总可以找到一个子数列{}nd,使得{}nd构成等差数列”.于是，他在数列{}nc中任取三项,,()kmnccckmn，由kncc与2mc的大小关系去判断该命题是否正确.他将得到什么结论？参考答案一、填空题：（每题4分）1.2111　　　　　　3　-22.13x3.（理）2425（文）7254.85.2sin4x6.（理）arctan12（文）arctan27.（理）x0（文）x08.31359.110.（理）0q1（文）3211.（理）3（文）13,2212.（理）2316（文）0m23-213.（理）1（文）2214.（理）5（文）5二、选择题：（每题5分）15.C16.B17.A18.（理）C（文）A三、解答题19.解：A=(3,4)………………………………………………………………………………..2分a5时，B=(,)(,5)a，满足AB；…………………………………..6分a5时，B=(5,)(,)a，由AB，得a4，故4a5，……………..10分综上，得实数a的取值范围为a4.……………………………………………..12分20.解：(1)f(x)的定义域为(,1)(1,)……………………………………………..2分f(-x)=log211xx=log211xx=-f(x)，所以，f(x)为奇函数.………………………………………..6分(2)由y=21log1xx，得x=2121yy,所以，f-1(x)=2121xx,x0.……………………………………..9分因为函数12()()loggxfxk有零点，所以，2logk应在)(1xf的值域内.所以，log2k=2121xx=1+221x(,1)(1,),………………….13分从而，k1(2,)(0,)2.……………………………………………..14分21．（理）解：(1)由OE//BC，OH//AB，得∠EOH=，………………………..2分过点B作BM⊥OE，BN⊥OH，则RtOMBRtONB，从而∠BOM=2.……………………………..4分在RtOMB中，由BM=40得OM