2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第5章检测题

第五章平面向量名师检测题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a、b间的“距离”．若向量a、b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则()A．a⊥bB.a⊥(a－b)C．b⊥(a－b)D.(a＋b)⊥(a－b)解析：依题意得|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2，亦即t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0对任意的t∈R都成立，因此有Δ＝(－2a·b)2－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)2≤0，故a·b－1＝0，即a·b－b2＝b·(a－b)＝0，故b⊥(a－b)，选C.答案：C2．在△OAB中，OA→＝a，OB→＝b，OD是AB边上的高，若AD→＝λAB→，则实数λ等于()A.a·a－b|a－b|B.a·b－a|a－b|C.a·a－b|a－b|2D.a·b－a|a－b|2解析：依题意得OD→·AB→＝0，λ＝AD→·AB→AB→2＝OD→－OA→·AB→OB→－OA→2＝OD→·AB→－OA→·AB→b－a2＝－OA→·OB→－OA→b－a2＝－a·b－a|a－b|2＝a·a－b|a－b|2，选C.答案：C3．已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则x1＋y1x2＋y2的值为()A.23B.－23C.56D.－56解析：记向量a与b的夹角为θ.注意到a·b＝|a||b|cosθ＝－|a||b|，即6cosθ＝－6，∴cosθ＝－1，θ＝π，向量a，b反向且共线，∴a＝－23b，即(x1，y1)＝－23(x2，y2)，∴x1＋y1x2＋y2＝－23，选B.答案：B4．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2，则向量b在向量a方向上的投影是()A．－12B.－1C.12D.1解析：依题意得(2a＋b)2＝4,4a2＋b2＋4a·b＝4,4＋4＋4a·b＝4，a·b＝－1，向量b在向量a方向上的投影等于a·b|a|＝－1，选B.答案：B5．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，AO→＝12(AB→＋AC→)且|OA→|＝|AB→|，则BA→·BC→为()A．1B.3C．－1D.－3解析：由AO→＝12(AB→＋AC→)，知O是BC的中点．又|OA→|＝|AB→|＝1＝12|BC→|，∴△ABC是直角三角形，且B＝π3，∴BA→·BC→＝|BA→|·|BC→|·cosπ3＝1×2×12＝1.故选A.答案：A6．(理)已知两点M(－1，－6)，N(3,0)，点P(－73，y)分有向线段MN→的比为λ，则λ，y的值为()A．－14，8B.14，－8C．－14，－8D.4，18解析：依题意得－73＝－1＋3λ1＋λ，y＝－6＋01＋λ，解得y＝－8，λ＝－14.答案：C(文)若点P分有向线段AB→所成的比为－13，则点B分有向线段PA→所成的比是()A．－32B.－12C.12D.3解析：由已知条件可得点P在线段AB的反向延长线上，且|AP→||PB→|＝13，因此向量PB→与BA→方向相反且|PB→||BA→|＝32，故点B分有向线段PA→所成的比是－32，故选A.答案：A7．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为平面ABC内任一点，动点P满足等式OP→＝13[(1－λ)OA→＋(1－λ)OB→＋(1＋2λ)OC→](λ∈R且λ≠0)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．内心B.垂心C．外心D.重心解析：依题意，设△ABC的三边AB、BC、CA的中点分别为H、M、N，AM、CH、BN的交点为G.OP→＝13[(1－λ)OA→＋(1－λ)OB→＋(1＋2λ)OC→]＝13[(1－λ)(OB→＋BA→)＋(1－λ)OB→＋(1＋2λ)OC→]＝13[2(1－λ)(OC→＋CB→)＋(1－λ)BA→＋(1＋2λ)OC→]＝13[3OC→＋2(1－λ)CB→＋(1－λ)BA→]，所以OP→－OC→＝1－λ3(2CB→＋BC→＋CA→)＝1－λ3(CB→＋CA→)＝21－λ3CH→，即CP→＝21－λ3CH→，所以点P的轨迹一定通过△ABC的重心，选择D.答案：D8．平面向量的集合A到A的映射f由f(x)＝x－2(x·a)a确定，其中a为常向量．若映射f满足f(x)·f(y)＝x·y对任意的x，y∈A恒成立，则a的坐标不可能是()A．(0,0)B.24，24C.22，22D.－12，32解析：由题意知，f(x)·f(y)＝[x－2(x·a)a]·[y－2(y·a)a]＝x·y－4(x·a)·(y·a)＋4(x·a)·(y·a)·a2＝x·y，即4(x·a)·(y·a)·(a2－1)＝0对任意的x，y∈A恒成立，则x·a＝0，或y·a＝0，或a2－1＝0即|a|＝1，结合各选项知，选B.答案：B9．在△ABC中，∠C＝120°，tanA＋tanB＝233，则tanAtanB的值为()A.14B.13C.12D.53解析：tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝tan(180°－C)＝tan60°＝3，将tanA＋tanB＝233代入，得tanAtanB＝13，故选B.答案：B10．在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C所对边的长，若bsinA＝asinC，则△ABC的形状是()A．钝角三角形B.直角三角形C．等腰三角形D.等腰直角三角形解析：由题设及正弦定理得ba＝sinCsinA＝ca，化简得b＝c，故△ABC为等腰三角形，故选C.答案：C11．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(cosφ，sinφ)，若θ－φ＝π3，则向量a与向量a＋b的夹角是()A.π3B.π6C.5π6D.2π3解析：以原点O为起点分别表示向量a＝OA→，b＝OB→，易知相应的终点A，B位于以原点O为圆心的单位圆上，以|OA→|，|OB→|为邻边作平行四边形OACB，则∠AOB＝π3，OA＝OB＝1，即平行四边形OACB是菱形，则∠COA＝π6，而OC→＝a＋b，故a，a＋b的夹角等于π6，选B.答案：B12．在△ABC中，下列结论正确的的个数是()①AB⇔cosAcosB；②AB⇔sinAsinB；③AB⇔cos2Acos2B.A．0B.1C．2D.3解析：在△ABC中，因为0Aπ，0Bπ，y＝cosx在[0，π]上是减函数，因此AB⇔cosAcosB，①正确；因为sinA0，sinB0，故由正弦定理可得AB⇔ab⇔sinAsinB，②正确；cos2Acos2B⇔1－2sin2A1－2sin2B⇔sinAsinB⇔AB，③正确．因此选择D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．)13．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|＝________.解析：∵－c＝a＋b，∴|c|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋0＝5，所以|c|＝5.答案：514．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则a·b＝________，若ka＋b与b平行，则k＝________.解析：由已知得a·b＝1×(－3)＋2×2＝1；ka＋b＝(k－3,2k＋2)，当ka＋b与b平行时，有－3(2k＋2)＝2(k－3)，由此解得k＝0.答案：1015．已知A、B是定直线l同侧的两个定点，且到l的距离分别为a、b，点P是直线l上的一个动点，则|PA→＋3PB→|的最小值是______．解析：以直线l为x轴，点B在l上的射影O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则B(0，b)，A(n，a)(n0)，设P(x,0)，则PA→＋3PB→＝(n－x，a)＋3(－x，b)＝(n－4x，a＋3b)，|PA→＋3PB→|2＝(n－4x)2＋(a＋3b)2，当n－4x＝0时，|PA→＋3PB→|min＝a＋3b.答案：a＋3b16．△ABC中，边AB为最大边，且sinA·sinB＝2－34，则cosA·cosB的最大值是______．解析：依题意得cos(A－B)＝cosA·cosB＋sinA·sinB，即有cos(A－B)＝cosA·cosB＋2－34，cosA·cosB＝cos(A－B)－2－34.由于AB边是最大边，因此内角C最大，cos(A－B)的最大值是1(当且仅当A＝B时取得等号)，cosA·cosB的最大值是1－2－34＝2＋34.答案：2＋34三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知向量a＝(cosx,2)，b＝(sinx，－3)．(1)当a∥b时，求3cos2x－sin2x的值；(2)求函数f(x)＝(a－b)·a在x∈[－π2，0]上的值域．解析：(1)∵a∥b，∴－3cosx＝2sinx，∴tanx＝－32.3cos2x－sin2x＝3cos2x－2sinxcosxsin2x＋cos2x＝3－2tanxtan2x＋1＝2413.(2)f(x)＝(a－b)·a＝cos2x－sinxcosx＋10＝cos2x＋12－12sin2x＋10＝22cos2x＋π4＋212.∵x∈－π2，0.∴－3π4≤2x＋π4≤π4，∴－12≤22cos2x＋π4≤22，∴10≤22cos2x＋π4＋212≤21＋22，即f(x)的值域为10，21＋22.18．(本小题满分12分)已知△ABC的面积为3，且满足0≤AB→·AC→≤6，设AB→和AC→的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝2sin2π4＋θ－3cos2θ的最大值与最小值．解析：(1)设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c.则由12bcsinθ＝3,0≤bccosθ≤6，可得0≤cotθ≤1，∴θ∈[π4，π2]．(2)f(θ)＝2sin2π4＋θ－3cos2θ＝1－cosπ2＋2θ－3cos2θ＝(1＋sin2θ)－3cos2θ＝sin2θ－3cos2θ＋1＝2sin2θ－π3＋1.∵θ∈π4，π2，2θ－π3∈π6，2π3，∴2≤2sin2θ－π3＋1≤3.即当θ＝5π12时，f(θ)max＝3；当θ＝π4时，f(θ)min＝2.19．(本小题满分12分)已知向量a＝(sinx,23cosx)，b＝(2sinx，sinx)，设f(x)＝a·b－1.(1)若x∈0，π2，求f(x)的值域；(2)若函数y＝f(x)的图象按向量m＝(t,0)作长度最短的平移后，其图象关于原点对称，求向量m的坐标．解析：(1)f(x)＝a·b－1＝2sin2x＋23sinxcosx－1＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6.x∈0，π2⇒2x－π6∈－π6，5π6⇒sin2x－π6∈－12，1⇒f(x)的值域y∈[－1,2]．(2)由(1)可设平移后的函数解析式为y＝2sin2x＋φ－π6，即y＝2sin2x＋2φ－π6，∵其图象关于原点对称，∴2φ－π6＝kπ，k∈Z.即φ＝π12＋kπ2，k∈Z.令k＝0得所求的φ＝π12.因此所求的m＝(－π12，0)．20．(本小题满分12分)已知向量a＝(sin(ωx＋φ)，2)，b＝(1，cos(ωx＋φ))ω0，0φπ4，函数f(x)＝(a＋b)·(a－b)，y＝f(x)图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且过点M1，72.(1)求函数f(x)的表达式；(2)当－1≤x≤1时，求函数f(x)的