2012年高考数学理科一轮复习精品讲义173数学归纳法新人教A版

用心爱心专心-1-第3讲数学归纳法★知识梳理★1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等★重难点突破★重点：领会两个步骤的作用，运用数学归纳法证明一些简单的数学命题难点：对不同类型的数学命题，完成从k到k+1的递推重难点：了解数学归纳法的原理、正确运用数学归纳法1.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法问题1用数学归纳法证明：2243131414141n错证：（1）当n=1时，左=右=411，等式成立（2）假设当n=k时等式成立，那么当n=k+1时，211243131411])41(1[41414141kk综合（1）（2），等式对所有正整数都成立点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设2.归纳起点0n未必是1问题2：用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为232nn点拔：本题的归纳起点30n3.“归纳——猜想——证明”是一种重要的思维模式问题3：在数列}{na中，33,2111nnnaaaa，求数列}{na的通项公式点拨：本题有多种求法，“归纳——猜想——证明”是其中之一解析：,73,632121aa,93,8323aa猜想53nan下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，215131a，猜想成立用心爱心专心-2-（2）假设当n=k时猜想成立，则5)1(3353533331kkkaaakkk当n=k+1时猜想也成立综合（1）（2），对Nn猜想都成立★热点考点题型探析★考点1数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的认识[例1]已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（2k且为偶数）时命题为真，，则还需证明（）A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立C.n=2k+2时命题成立D.n=2（k+2）时命题成立[解析]因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式)(kf（3）从)1(kf和)(kf的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子【新题导练】1.(2011惠州调研二理)用数学归纳法证明),1(11122Nnaaaaaann，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（）A.1B.a1C.21aaD.421aaa[解析]n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边是a1，故选B2.用数学归纳法证明不等式241312111nnnn的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是[解析]求)()1(kfkf即可当n=k时，左边kkkk12111，n=k+1时，左边)1()1(13121kkkk,故左边增加的式子是11221121kkk，即)22)(12(1kk考点2数学归纳法的应用用心爱心专心-3-题型1：用数学归纳法证明数学命题（恒等式、不等式、整除性问题等）[例2]用数学归纳法证明不等式2)1(21)1(3221nnn[解析]（1）当n=1时，左=2，右=2，不等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即2)1(21)1(3221kkk则)2)(1()1(21)2)(1()1(32212kkkkkkk02)2()1()2)(1(2)2()2)(1()1(2122kkkkkkkk2]1)1[(21)2)(1()1(3221kkkkk当n=k+1时，不等式也成立综合（1）（2），等式对所有正整数都成立【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面【新题导练】3.用数学归纳法证明等式：nnnnn212111211214131211[解析]（1）当n=1时，左=21211=右，等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即kkkkk212111211214131211则)221121(212111)221121(211214131211kkkkkkkkk2211212121kkkk当n=k+1时，等式也成立综合（1）（2），等式对所有正整数都成立4.数列}{na中，)1(2,25211nnnaaaa)(Nn，用数学归纳法证明：)(2Nnan[解析](1)当n=1时,2251a,不等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即)(2Nkak，用心爱心专心-4-则2)1(2221kkkaaa0)1(2)2(2kkaa，21ka当n=k+1时，不等式也成立综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立题型2用“归纳——猜想——证明”解决数学问题[例3]是否存在常数a、b、c，使等式)(12)1()1(32212222cbnannnnn对一切正整数n都成立？证明你的结论【解题思路】从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n=1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切Nn，等式都成立[解析]把n=1,2,3代入得方程组7039442424cbacbacba，解得10113cba，猜想：等式)10113(12)1()1(32212222nnnnnn对一切Nn都成立下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立（2）假设n=k时等式成立，即)10113(12)1()1(32212222kkkkkk则222222)2)(1()10113(12)1()2)(1()1(3221kkkkkkkkkk2)2)(1()2)(53(12)1(kkkkkk)]2(12)53([12)2)(1(kkkkk]10)1(11)1(3[12)2)(1(2kkkk所以当n=k+1时，等式也成立综合（1）（2），对Nn等式都成立【名师指引】这是一个探索性命题，“归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式【新题导练】5.在数列}{na中，nnnaaaxa11,tan11，（1）写出,,21aa3a；（2）求数列}{na的通项公式[解析],tan1xa)4tan(2xa，)2tan(2xa，猜想]4)1tan[(xnan用心爱心专心-5-下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知猜想成立（2）假设n=k时猜想成立，即]4)1tan[(xkak则]4)1tan[(1]4)1tan[(1111xkxkaaakkk]4tan[xk所以当n=k+1时，猜想也成立综合（1）（2），对Nn猜想都成立