2012数值分析试题及答案

1总分一二三四五六班级学号姓名…………○…………密…………○…………封…………○………线……………………东北大学研究生院考试试卷2012—2013学年第一学期课程名称：数值分析(共2页)一、填空题：（每题5分，共50分）1.设近似值x的相对误差限为10-5，则x至少具有(5)位有效数字.2.设矩阵4321A，则A的Doolittle分解式是(20211301－A)，Crout分解式是（10212301－A）.3.解线性方程组19242121xxxx的Jacobi迭代矩阵的谱半径)B（(2/3).4.迭代格式,...2,1,0,33231kxxxxkkkk求根1是(3)阶收敛的.5.设xxfsin)(，用以2,1,0,iixi为节点的二次插值多项式近似5.1sin的值，误差为0.062516/1)5.1(2R.6.设35)(3＋xxf，则差商5]4,3,2,1[,5]1,0[＝＝ff，0]5,4,3,2,1[＝f.7.区间]1,1[上权函数为2x的二次正交多项式设)(2xp＝（5/32x）.8．对离散数据31122101iiyx的拟合曲线265xy的均方差为(58.15.2).9．设求积公式)1()0()1()(22110fAfAfAdxxf是插值型求积公式，则积分系数4/9,0,4/3210AAA.10．.求解常微分方程初值问题的差分公式01)),(2,2(yyxfhyhxhfyynnnnnn的绝对稳定区间是((-2,0)).二、（10分）已知求线性方程组bAx的迭代格式:nixabaxxnjkjijiiikiki,,2,1,)(1)()()1((1)求此迭代法的迭代矩阵M；(2)证明：当A是严格对角占优矩阵，5.0时，此迭代格式收敛.解：迭代法的矩阵形式为：bDxADDAxbDxxkkkk1)(1)(1)()1()()(所以，迭代矩阵为)(1ADDM.当A是严格对角占优矩阵，5.0时，由于1|2|||max)(11iinjijniaaMM，所以，迭代格式收敛.三、（12分）说明方程0cosxx有唯一根，并建立一个收敛的迭代格式，使对任意初值0x都收敛，说明收敛理由和收敛阶。解：记osxxxfc)(，则)(xf连续,且01cos1)1(,01)0(ff，而且，0sin1)(xxf，所以，方程0cosxx有唯一根，且在区间]1,0[内。建立迭代格式：,...2,1,0,cos1kxxkk由于，迭代函数xxcos)（在区间]1,1[上满足条件：1)(1cos1x，11sin|sin||)(|xx所以，此迭代格式对任意]1,1[1x都收敛。因此，对任意初值0x都收敛。又由于，)10(0sin)(，所以，此迭代格式1阶收敛。2…………○…………密…………○…………封…………○………线………………………………○…………密…………○…………封…………○………线……………………四、(10分)利用复化Simpson公式2S计算定积分20xdxcosI的近似值，并估计误差。解：909622804.0]23cos421cos41cos22cos0[cos612SI由于xxfcos)(的4阶导数在]2,0[上的最大值为：14M,所以误差为：000694444.0228802||4452MSI五、（10分）设求解常微分方程初值问题：],[,)(),(baxayyxfy的差分公式：01))],(2,2(),([2yyxfhyhxfyxfhyynnnnnnnn求此差分公式的阶。解：由于)]()(2[221hOfyfxfhffhyynnnnnnn)]()(432hOfyfxfhhfynnnnn)()(2)()()(321hOxyhxyhxyxynnnn)()(232hOfyfxfhhfynnnnn所以，11)(nnyxy)()(432hOfyfxfhnnn)(2hO所以，此差分公式是1阶方法。六、（8分）设)(1xp是)(xf以311,31110xx为节点的一次插值多项式，试由)(1xp导出求积分20)(dxxfI的插值型求积公式，并导出公式的截断误差.解设由)(1xp导出求积分20)(dxxfI的插值型求积公式为：)311()311()(1020fAfAdxxfI由插值余项知，公式至少具有1次代数精度，于是有：2)311()311(21010AAAA，,即：110AA.所以，由)(1xp导出求积分20)(dxxfI的插值型求积公式为：)311()311()(20ffdxxfI容易验证此公式具有3次代数精度，即对次数不大于3次的多项式精确成立，记)(3xH为)(xf在区间],[10xx的3次Hermite插值多项式，则有：20120)()(][dxxpdxxffR20320)()(dxxHdxxf201203)()(dxxpdxxH2022)4()31()31(!4)(dxxxfx2022)4()31(24)(dxxf2022)4()31(24)(dxxf540)(109)4(f