2012江苏省数学竞赛《提优教程》第50讲直线与区域

第10讲直线与区域直线是平面上最简单、最常见的几何图形．在解析几何中，直线是最基本的研究对象之一，它既能反映直线运动的规律，又是解决平面几何中直线型问题的强有力的工具．A类例题例1．直线bx＋ay＝ab(a＜0、b＜0)的倾斜角是()A．arctan(－ba)B．arctan(－ab)C．π－arctan(－ba)D．π－arctanba(1993年全国高考题)分析直线方程的四种特殊形式，都可以化为直线方程的一般形式，但直线方程的一般形式不一定都能化为四种特殊形式，这与系数A、B、C是否为零有关．要会根据需要在直线方程的各种形式之间进行转换．本题为直线方程的一般形式，先化为斜截式，由直线的斜率，得出直线的倾斜角．解因为a≠0，则方程bx＋ay＝ab化为y＝－bax＋b，方程的斜率为k＝－ba，又a＜0、b＜0，则－ba＜0．故直线的倾斜角是π－arctanba，选D．说明直线方程的常用形式为：(1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)；(2)斜截式：y＝kx＋b；(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1；(4)截距式：xa＋yb＝1；(5)一般式：Ax＋By＋C＝0．此外有时为了解决问题的方便还可能用到：(1)法线式：xcos＋ysin－p＝0(∈[0，2)，p≥0，任何直线都可用法线式表示)，为直线的法线角(法线与x轴正向所成的角)，p为法线长(原点到直线的距离)；(2)参数式：x＝x0＋at，y＝y0＋bt．(t为参数)；x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα．(t为参数，t表示点(x0，y0)到点(x，y)的线段的数量，为直线的倾斜角)；(3)向量式：→OP＝→OA＋→AB(λ∈R)，→OP＝→OA＋(1－)→OB，(λ∈R)等．在解决问题的过程中要注意灵活运用各种形式．例2．已知直线l1和l2夹角的平分线为y＝x，如果l1的方程是ax＋by＋c＝0(ab＞0)，那么l2的方程是（）A．bx＋ay＋c＝0B．ax－by＋c＝0C．bx＋ay－c＝0D．bx－ay＋c＝0(1992年全国高考题)分析直线l1和l2夹角的平分线为y＝x，则直线l1和l2关于直线y＝x对称．解由于点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(－y，－x)，故ax＋by＋c＝0关于直线y＝x的对称的直线为ay＋bx＋c＝0，即l2的方程是bx＋ay＋c＝0．故选A．说明解析几何中对称的问题在高考和竞赛中经常出现，对称有两种：1．中心对称：点P(x0，y0)关于点(h，k)的中心对称的点为(2h－x0，2k－y0)；点P(x0，y0)关于原点(0，0)的中心对称的点为(－x0，－y0)；2．轴对称：(1)点P(x0，y0)关于x轴的对称点为(x0，－y0)；(2)点P(x0，y0)关于y轴的对称点为(－x0，y0)；(3)点P(x0，y0)关于直线x＝a的对称点为(2a－x0，y0)；(4)点P(x0，y0)关于直线y＝b的对称点为(x0，2b－y0)；(5)点P(x0，y0)关于直线y＝x的对称点为(y0，x0)；(6)点P(x0，y0)关于直线y＝－x的对称点为(－y0，－x0)；[来源:学&科&网](7)点P(x0，y0)关于直线x＋y＝a的对称点为(a－y0，a－x0)；(8)点P(x0，y0)关于直线x－y＝a的对称点为(a＋y0，x0－a)；(9)点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点，可先设对称点为(x，y)，列出方程组y－y0x－x0＝BA，A(x＋x0)＋B(y＋y0)＋2C＝0．解此方程组即可得对称点坐标．例3．在约束条件2x＋5y≥10，2x－3y≥－6，2x＋y≤10下，求z＝x2＋y2的最大值和最小值．(1999年浙江高考模拟题)分析本题可以借助于线性规划问题的求解方法解决这一问题，关键是怎样理解目标函数的几何意义，z＝x2＋y2＝(x2＋y2)2表示的是区域上的点与原点的距离的平方，理解这一点问题就不难解决了．解约束条件表示的区域如图中ΔABC所围成的区域(包括边界)．因为z＝(x2＋y2)2，所以z表示区域上的点与原点的距离的平方．又由图可知，区域中与原点距离最远的点为A或C点，则由A(3，4)可知zmax＝25．过O作OD⊥BC，垂足为D，则区域中与原点距离最近的点为D，则zmin＝10029．直线BC为2x＋5y＝10，所以|OD|＝1022＋52＝1029，综上所述，z＝x2＋y2的最大值为25，最小值为10029．说明在解决区域的有关问题时，一般要利用数与形的结合，将需要解决的问题在图形中表现出来，因此正确地画出不等式(组)所表示的区域就成为解题时一个重要的环节．情景再现1．(1)要使直线l1：(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝2m与直线l2：x－y＝1平行，求m的值．(1989年全国高考题)(2)直线l1：ax＋(1－a)y＝3与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，求a的值．(1985年全国高考题)2．已知平面上两点A(4，1)和B(0，4)，在直线l：3x－y－1＝0上找一点M，使得|MA|－|MB|最大，求点M的坐标．(2002年南通高考模拟题)3．由方程|x－6|＋|y|＝|x2|所对应的曲线围成的图形的面积是；(上海市2000年高中数学竞赛)B类例题DCBAxOyC(x,0)B(0,b)A(0,a)xOy例4．如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A(0，a)、B(0，b)(0＜b＜a)．试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值．(1986年全国高考题)分析已知两个定点的坐标和一个动点C(x，0)的坐标，要求锐角∠ACB的最大值，而∠ACB恰好是直线BC与AC的倾斜角的差，故先求出直线BC与AC的斜率，即求出直线BC与AC的倾斜角的正切值，在利用三角函数的相关公式及不等式的性质求最值．解设所求点C的坐标为(x，0)(x＞0)，∠ACx＝α，∠BCx＝β，α、β∈(π2，π)．kBC＝b－00－x＝－bx，kAC＝a－00－x＝－ax，即tanα＝－bx，tanβ＝－ax，因为∠ACB＝α－β，则tan∠ACB＝tan(α－β)＝tanα－tanβ1－tanαtanβ．设y＝tan∠ACB，则y＝－bx－(－ax)1＋bx·ax＝ax－bx1＋abx2＝a－bx＋abx≤a－b2x·abx＝a－b2ab＝(a－b)ab2ab，当且仅当x＝abx，即x＝ab时，ymax＝(a－b)ab2ab，即tan∠ACB的最大值为(a－b)ab2ab．因为∠ACB为锐角，在(0，π2)内，y＝tanx是增函数，故∠ACB的最大值为arctan(a－b)ab2ab，此时C的坐标为(ab，0)．说明本题是采用斜率来解决的，事实上本题也可以用平面几何知识来解决，如右图，当经过A、B这两个定点的圆与x轴相切时，切点为C'，此时∠AC'B最大(读者可以自行证明)，故当C在C'时∠ACB最大，利用切割线定理，得|OC|2＝ab，同样可以得到C的坐标为(ab，0)时，∠ACB的最大值．例5．在平面直角坐标系中，方程|x＋y|2a＋|x－y|2b＝1(a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是()A．三角形B．正方形C．非正方形的长方形D．非正方形的菱形[来源:Z_xx_k.Com](1994年全国高中数学联赛)分析分类讨论去绝对值即可解决本题．解x＋y≥0，x－y≥0时，(一、四象限角平分线之间)曲线方程为：(a＋b)x＋(b－a)y＝2ab；x＋y≥0，x－y0时，(一、二象限角平分线之间)曲线方程为：(b－a)x＋(a＋b)y＝2ab；x＋y0，x－y≥0时，(三、四象限角平分线之间)曲线方程为：(a－b)x－(a＋b)y＝2ab；x＋y0，x－y0时，(二、三象限角平分线之间)曲线方程为：－(a＋b)x＋(a－b)y＝2ab．四条直线在a≠b时围成一个菱形(非正方形)．故选D．C(x,0)B(0,b)A(0,a)xOyy=14x+112B3B2B1A4A3A2A1yx12123Ol2l1QPMyxO例6．已知直线l1：y＝4x和P(6，4)．在直线l1上求一点Q，使过P、Q的直线与l1，以及x轴，在第I象限内围成的三角形的面积最小．(1978年全国高中数学联赛)解如图所示，设Q点坐标为(x1，y1)，y1＝4x1，则过P、Q的直线l2的方程为y－44x1－4＝x－6x1－6，PQ与x轴交点M坐标为(5x1x1－1，0)．ΔOMQ的面积S＝12·5x1x1－1·4x1，[来源:学科网]即10x12－Sx1＋S＝0．要使此方程有实根，则S2－40S≥0，即S≥40．当S＝40时，x1＝2，即x1＝2时，S达到最小．故所求Q点坐标为(2，8)．说明本题的关键在于转化为求S＝12·5x1x1－1·4x1的最小值，对于求S＝12·5x1x1－1·4x1的最小值的方法很多，如S＝10(x1－1)＋10x1－1＋20≥10×2＋20＝40(x1＞1)．情景再现4．已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(1，1)和(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是．(1994年全国高中数学联赛)5．求满足条件y≥|x＋a|，y≤－13x＋a(a＞0)的点组成的图形的面积．(1979年山西省高中数学竞赛)6．设R为平面上以A(4，1)、B(－1，－6)、C(－3，2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的边界)．试求当(x，y)在R上变动时，函数4x－3y的极大值和极小值．(须证明你的论断)(1978年全国高中数学竞赛)C类例题例7．设点Bi(i，yi)(i∈N*)是直线y＝14x＋112上的点．点Ai(xi，0)满足x1＝a(0＜a＜1)，△AiBiAi+1是以Bi为顶点的等腰三角形．(1)试求数列{xn}的通项公式；(2)是否存在正数a，使存在正整数i，△AiBiAi+1为直角三角形．解(1)满足x1＝a，xi+1＝2i－xi(i＝1，2，…)．下标加1：xi+2＝2(i＋1)－xi+1，相减得xi+2－xi+1＝xi－xi+1＋2，即xi+2＝xi＋2．则数列x1，x3，…，x2k－1，…与数列x2，x4，…，x2k，…，分别为以2为公差的等差数列．[来源:学科网ZXXK]∴x2k－1＝a＋2(k－1)＝2k＋a－2；x2k＝2－a＋2(k－1)＝2k－a．∴xn＝n＋a－1，(n为奇数)n－a，(n为偶数)也可写为xn＝n＋(－1)n＋1a－12[1＋(－1)n＋1]．(2)yn＝14n＋112．当n为奇数时，取14n＋112＝n－(n＋a－1)＝1－a．∴a＝1112－14n．当n＝1时，a＝23，n＝3时，a＝16．当n为偶数时，取14n＋112＝n－(n－a)＝a．∴a＝14n＋112，当n＝2，a＝712．∴当a＝23，712，16时，分别存在i＝1，2，3，使△AiBiAi+1为直角三角形．例8．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，…，ln，…的直线族，它满足条件：(1)点(1，1)∈ln，(n＝1，2，3，……)；(2)kn+1＝an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n＝1，2，3，……)；(3)knkn+1≥0，(n＝1，2，3，……)．并证明你的结论．(1988年全国高中数学联赛)证明设an＝bn≠0，即kn－1＝－1，或an＝bn＝0，即kn＝1，就有kn+1＝0，此时an+1不存在，故kn≠±1．现设kn≠0，1，则y＝kn(x－1)＋1，得bn＝1－kn，an＝1－1kn，∴kn+1＝kn－1kn．此时knkn+1＝kn2－1．∴kn＞1或kn＜－1．从而k1＞1或k1＜－1．(1)当k1＞1时，由于0＜1k1＜1，故k1＞k2＝k1－1k1＞0，若k2＞1，则又有k1＞k2＞k3＞0，依此类推，知当km＞1时，有k1＞k2＞k3＞…＞km＞km+1＞0，