2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案第25讲_反三角函数与三角方程

第25讲反三角函数与三角方程本讲主要内容：反三角函数的概念、运算与解三角方程．反三角函数：三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的．但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数了．一．反正弦函数1．定义：函数y＝sinx(x∈[-2，2])的反函数就是反正弦函数，记为y＝arcsinx(x∈[－1，1])这个式子表示：在区间[-2，2]内，正弦函数值为x的角就是arcsinx，即sin(arcsinx)＝x，x∈[－1，1]2．反正弦函数的性质：⑴定义域为[－1，1]；值域为[-2，2]．⑵在定义域上单调增；⑶是[－1，1]上的奇函数，即arcsin(－x)＝－arcsinx，x∈[－1，1]⑷y＝arcsinx的图象：与y＝sinx(x∈[-2，2])的图象关于y＝x对称．[来源:学科网]⑸arcsin(sinx)的值及y＝arcsin(sinx)的图象：arcsin(sinx)＝x，x∈[-2，2]二．反余弦函数仿反正弦函数的情况可以得到：1．定义：函数y＝cosx(x∈[0，])的反函数就是反余弦函数，记为y＝arccosx(x∈[－1，1])这个式子表示：在区间[0，]内，余弦函数值为x的角就是arccosx，即cos(arccosx)＝x，x∈[－1，1]2．反余弦函数的性质：⑴定义域为[－1，1]；值域为[0，]．⑵在定义域上单调减；⑶是[－1，1]上的非奇非偶函数，即arccos(－x)＝－arccosx，x∈[－1，1]⑷y＝arccosx的图象：与y＝cosx(x∈[0，])的图象关于y＝x对称．⑸arccos(cosx)的值及y＝arccos(cosx)的图象：arccos(cosx)＝x，x∈[0，]三．反正切函数1．定义：函数y＝tanx(x∈(-2，2))的反函数就是反正切函数，记为y＝arctanx(x∈R)．这个式子表示：在区间(-2，2)内，正切函数值为x的角就是arctanx，即tan(arctanx)＝x，x∈R2．反正切函数的性质：⑴定义域为R；值域为(-2，2)．⑵在定义域上单调增；⑶是R上的奇函数，即arctan(－x)＝－arctanx，x∈R⑷y＝arctanx的图象：与y＝tanx(x∈(-2，2))的图象关于y＝x对称．⑸arctan(tanx)的值及y＝arctan(tanx)的图象：arctan(tanx)＝x，x∈(-2，2)四．反余切函数请根据上面的内容自己写出．A类例题例1证明：⑴cos(arcsinx)＝1－x2；sin(arccosx)＝1－x2；tan(arccotx)＝1x．并作它们的图象．⑵sin(arctanx)＝x1＋x2；tan(arcsinx)＝x1－x2；cos(arctanx)＝11＋x2；tan(arccosx)＝1－x2x．证明：⑴设arcsinx＝，则∈[－2，2]，且sin＝x，于是，cos＝1－x2，即cos(arcsinx)＝1－x2；同理可证其余．⑵设arctanx＝，则∈(-2，2)，tan＝x．于是，sec＝1＋x2，所以，sin＝tan·cos＝x1＋x2，就是sin(arctanx)＝x1＋x2；同理可证其余．说明本题给出了反三角函数运算的方法：把某个反三角函数看成是在某个范围(该反三角函数的主值区间)内的一个角，把反三角函数的运算改成三角函数的运算．例2证明：⑴arcsinx＋arccosx＝2，x∈[－1，1]⑵arctanx＋arccotx＝2，x∈R证明：令arcsinx＝，arccosx＝，则∈[-2，2]，∈[0，]，2－∈[-2，2]而sin＝x，sin(2－)＝cos＝x，即sin＝sin(2－)，但与都在区间[-2，2]内，在此区间内正弦函数是单调增函数，从而＝2－．就是arcsinx＋arccosx＝2．同法可证⑵．说明这是关于反正弦与反余弦函数、反正切与反余切函数的一个重要关系式．例3计算：⑴sin(arcsinx＋arcsiny)；x，y∈[－1，1]⑵cos(arccosx＋arccosy)．x，y∈[－1，1]解：⑴sin(arcsinx＋arcsiny)＝x1－y2＋y1－x2．⑵cos(arccosx＋arccosy)＝xy－1－x2·1－y2．情景再现1．若arctanx＋arctany＋arctanz＝，证明：x＋y＋z＝xyz；⑵证明：cot[arctanx＋arctan(1－x)]＝1－x＋x2．2．设f(x)＝x2－πx,α＝arcsin13，β＝arctan54,γ＝arccos(－13),＝arccot(－54),则A．f(α)＞f(β)＞f()＞f(γ)B．f(α)＞f()＞f(β)＞f(γ)C．f()＞f(α)＞f(β)＞f(γ)D．f()＞f(α)＞f(γ)＞f(β)3．函数y＝arccos(12-x2)的值域是A．[-2，6]B．[-2，3]C．[6，π]D．[3，π]B类例题例4求10cot(arccot3＋arccot7＋arccot13＋arccot21)的值．解：设arccot3＝，arccot7＝，arccot13＝，arccot21＝，则04．∴tan＝13，tan＝17，tan＝113，tan＝121，∴tan(＋)＝tan＋tan1－tantan＝13＋171－1317＝1020＝12．tan(＋)＝tan＋tan1－tantan＝113＋1211－113121＝18．tan(＋＋＋)＝12＋181－1218＝23．∴10cot(arccot3＋arccot7＋arccot13＋arccot21)＝1032＝15．[来源:学科网]例5求常数c，使得f(x)＝arctan2－2x1＋4x＋c在区间(-14，14)内是奇函数．解：若f(x)是(-14，14)内的奇函数，则必要条件是f(0)＝0，即c＝－arctan2．当c＝－arctan2时，tan(arcta2－2x1＋4x－arctan2)＝2－2x1＋4x－21＋2－2x1＋4x·2＝2－2x－2－8x1＋4x＋4－4x＝－2x．即f(x)＝arctan(－2x)；f(－x)＝arctan(－(－2x))＝arctan2x＝－f(x)．故f(x)是(-14，14)内的奇函数．说明[来源:学*科*网Z*X*X*K]例6[x]表示不超过x的最大整数，{x}表示x的小数部分（即{x}＝x-[x])，则方程cot[x]·cot{x}＝1的解集为；解：由于0≤{x}1，故cot{x}＞cot1＞0，即cot{x}0．∴cot[x]＝1cot{x}＝tan{x}＝cot(2－{x})，∴[x]＝k＋2－{x}．即[x}＋{x}＝k＋2(k∈Z)，就是x＝k＋2(k∈Z)．说明情景再现4．函数f(x)＝arctanx＋12arcsinx的值域是A．(-π，π)B．[－34，34]C．(-34，34)D．[-2，2]5、设-1a0，θ＝arcsina,那么不等式sinxa的解集为A．{x|2nπ＋θx(2n＋1)π-θ，n∈Z}B．{x|2nπ-θx(2n＋1)π＋θ，n∈Z}C．{x|(2n-1)π＋θx2nπ-θ，n∈Z}D．{x|(2n-1)π-θx2nπ＋θ，n∈Z}6、在区间[0，π]上，三角方程cos7x＝cos5x的解的个数是；C类例题例7求使方程a＋a＋sinx＝sinx有实数解的实数a的取值范围．分析解：sinx≥0，平方得a＋sinx＝sin2x－a，故a≤sin2x，平方整理得，a2－(2sin2x＋1)a＋sin4x－sinx＝0，这是一个关于a的一元二次方程．＝(2sin2x＋1)2－4(sin4x－sinx)＝4sin2x＋4sinx＋1＝(2sinx＋1)2．∴a＝12[2sin2x＋1±(2sinx＋1)]．其中，a＝sin2x＋sinx＋1＞sin2x，故舍去；a＝sin2x－sinx，当0≤sinx≤1时，有a∈[－14，0]．[来源:Z。xx。k.Com]当a＝0时，得sinx＝0或1，有实解；当a＝－14时，sinx＝12，有实解．即a的取值范围为[－14，0]．说明例8解方程：cosnx-sinnx＝1，这里，n表示任意给定的正整数．分析：可先从n＝1，2，3，……着手研究，找出规律再解．n＝1时，cosx＝sinx＋1，n＝2时，cos2x＝sin2x＋1，n＝3时，cos3x＝sin3x＋1，n＝4时，cos4x＝sin4x＋1．解：原方程就是，cosnx＝1＋sinnx．⑴当n为正偶数时，由于cosnx≤1，sinnx≥0，故当且仅当cosnx＝1，sinnx＝0，即x＝k(k∈Z)时为解．⑵当n为正奇数时，若2k≤x≤2k＋，则cosnx≤1，sinnx≥0，故只有cosnx＝1，sinnx＝0时，即x＝2k(k∈Z)时为解；若2k＋x2(k＋1)，由于1＋sinnx≥0，故只能在2k＋32≤x2(k＋1)内求解，此时x＝2k＋32满足方程．若2k＋32x2(k＋1)，当n＝1时，cosx－sinx＝|cosx|＋|sinx|＞1，当n≥3时，cosnx－sinnx＝|cosnx|＋|sinnx||cos2x|＋|sin2x|＝1．即此时无解．所以，当n为正偶数时，解为x＝k(k∈Z)；当n为正奇数时，解为x＝2k与x＝2k＋32(k∈Z)．说明情景再现7．解方程：cos2x＋cos22x＋cos23x＝1．8．求方程x2-2xsinπx2＋1＝0的所有实数根；习题251、arcsin(sin2000)＝．(2000年全国高中数学联赛)2．已知函数①y＝arcsin(2x),②y＝sinπx＋cosπx,③y＝log2x＋log1/2(1＋x)．其中，在区间[12,1]上单调的函数是A．①、②和③B．②和③C．①和②D．③3．函数y＝arcsin[sinx]＋arcos[cosx]，x∈[0，2π）的值域（其中[x]表示不超过实数x的最大整数）是A．{0，π，32}B．{-2，2，32}C．{0，2，π}D．{-2，-1，0，1}4．已知α∈（-2，2），sin2α＝sin(α-4)，则α＝；5．求方程x2-2xsinπx2＋1＝0的所有实数根；6．求关于x的方程x2-2x-sinπx2＋2＝0的实数根．7．解方程：sinx22csc2x＝14；8．求方程sinnx＋1cosmx＝cosnx＋1sinmx的实数解，其中m、n是正奇数．本节“情景再现”解答：1．证明：⑴令arctanx＝，arctany＝，arctanz＝，则＋＋＝，tan＝x，tan＝y，tan＝z．∴x＋y＝tan＋tan＝tan(＋)(1－tantan)＝－tan(1－tantan)＝－z(1－xy)＝－z＋xyz．∴x＋y＋z＝xyz．⑵设arctanx＝，arctan(1－x)＝，则tan(＋)＝x＋(1－x)1－x(1－x)＝11－x＋x2．∴cot(＋)＝1－x＋x2．故证．2．选B．解：f(x)＝(x－2)2－24．06，43，223，3456．∴|－2||－2||－2||－2|，故f()＞f()＞f()＞f()．3．选D．解：－1≤12-x2≤12，3≤y≤．4．解：定义域[－1，1]，在此范围内arctanx∈[－4，4]，12arcsinxx∈[－4，4]，故选D．5．解：－－x，(2n-1)π-θx