2012湖南大学数学竞赛(数学专业组)试题及解答

2013年数学竞赛练习试卷（数学专业类）21.1|+|0(2)-ABABAB设实对称，实反对称，证明：（）正定。03202.=ker(1)dim=dim+dim(2)dim+dim2dimWnV设是维线性空间的子空间。为其上的线性变换。令。求证：12+=1-=13.:,:,0=0y=0yzxzllabcbcacx已知直线其中。121222221111(1)(2)2=++llllddabc求证：，异面设，的距离为，求证124.,,...,...inf.nnpxExxxpxE设为一正无穷大数列。，试证存在正整数，使得22--+20-5.0,=xxeeIdxx设求。[0,1]=16.()0,[0,1]lim(())=max()nnnnxiifxffxn设且在上连续。求证。111=1=17.()[,](0)=0,(1)=1,...,,...,[,]=()nnniniiiifxCffkkkxxkfx设01，，为正数。求证存在互不相同的01，使得。238.[,],[,]+1()=(-)()+()(-)224bafCabcababfxdxbaffcba设求证存在使得。,.:,sup()()()xyRfRRfxyfxfy9设连续函数满足。2013年数学竞赛练习试卷（数学专业类）参考答案-1-1-1-1-1-11111(1)==+0+()0+()0()+00={,,0,...,0}-0-01+=++{-1TTTTTsTsTAIAPAPPABPIPBPPIPBPPBPIBbbBTTBTDdiagbbbIBTIDTIDdiagb1、证：只要对的情形证明即可。事实上，由于正定，则存在可逆使得。。显然反对称。对于。由于反对称，则存在正交阵使得则2=121,,1,...,1}(1+)0-1(2)--+ssiisTTTbbbBBBABABBABB。由于反对称，则。则。其中是正定的，是半正定的。则它们的和是正定的。12012s+1s+11122+1s+11122+1s+1+1s+1,,...,,,...,,,,...,,,...,dim=++...+++...+=++...+++...+=+...+ssttsssttsssttst2、证明：设为一组基。则他们可以扩充为的一组基下面我们来证明为的一组基。对，有则s+1+1s+1+1s+1+1s+10121122+1s+112s+1,,...,+...+=+...+=0+...+ker,,...,++...+=+...+,,...,,,,...,ttsttsttsttssssttstllllllWWlllllW则可由表出。再证它们线性无关。设有线性组合则且。故。则它能被表出。有。由于为的基。所+1s+1s+1032321232=...==0.,,...,,,...,dimdim==-+=dim+dim2,,...,,,,,,()()+()-()()+()2()stttnllWWttstWWVAAAFrobeniusrAAArAArAArArArArA以只能有所以线性无关。综上为的一组基。则（）取的一组基。则在此基下对应的矩阵分别为由不等式有。即等价的32dim+dim2dim0000000()=00()()+()-()VVVFrobeniusABABCABCBBCBBCBABABABCrABrBCrrrBCBBCBrABCrABrBCrB有注：不等式因为则（）即112212121212:(1)=(0,,-)(0,,0)=(,0,)(0,0,-c)=(0,-,-)0-,,=0=20.0--(2)=0=(,,-)0--,,2=lubcPblvacPPPbcbcuvPPacabcllbcijkuvnacbcacabbcuvPPd3、证明方向向量过点方向向量过点并且知道考察混合积所以，异面考察，的公垂向量。则222222221111==++++abcndabcbcacab。整理显然有112inf=inf,,...,infnnNpxNnNxxExxxpxE4、证明：由于为正无穷大数列，则存在使得若，则则。而右边是一个有限集，必可取的使得2222+++---000+-0===(-)txtxttxIdtedxedtedtIdxedt5、解：则。由于右侧收敛则交换积分号有[0,1]=10000=1max()(())=()=0,0,-,()-1,-()-(())(())-lim(nnnnnnxinnnnniniMfxfnMnMnfxfxMxxfxMjArchimedesnjxnnjijfMffMnnn6、证明：设。则又是连续的，故存在使得并且对使得若则由原理，对充分大的有。这时必有一个使得所以这时。所以由任意性知[0,1]=1())==max()nnnxiifMfxn。1=1=1012-1-1-1-1-1==1.=1.(0)=0,(1)=1()[,]-1[0,1]=0...1=.()-()=[,]=()-()=()(-nniiiiiiinniiiiiiiiiiiikkMpppfffxCMfncccccfcfcplagrangexccpfcfcfxcc7、证明：记。。则0考虑到，01则由的介值性可以确定个的分点同时满足由定理知道。存在。使得-1-1=1=1=1=1)=-=-=1.=()()()nnnniiiiiiiiiiiiiiippkcccckfxfxfx即。则整理既得2323231()=()[,][,]+2+()++++()+2()()+()(-)+(-)+(-)2222!23!2=,+()()++---2()()+()()+()+()2222!23!2taFtfxdxfCabFCababTaylorabfababababfabFtFfttttababffabababababFaFfF8、证明：设。由于，则在处做展开。即有分别令。则有232312212minmax12+()()++---2()()+()()+()+()2222!23!2()+()+1()=()(-)+(-)[]2242()+()[,][,]2()+()[,]=2abffababbabababFfffabFbfbabafffCabfCabffffcab下式减上式有这里由于，所以。由于所以存在使得()fc。所以原式成立,,2sup()sup()()(),,()()()(1)()(1)()()()()(1)()(1)(2)()()()()xyRxyRnkafxaxMfxyfxfyxRmnNfxyfxfyMfnxfnxfxMfnxnfxfkxfkxfxnMnMnfmxmfnxnfmxfmnxf9、证明：存在是常数满足满足令则，有归纳可得，则从而()()()()()11()()()(()()()(1)()()()()(1)()(2)()mnxmfnxnmMfmxfnxMmnnmfnxCauchyRgxgxnfnxyfnxfnyMnnnngxygxgyCauchygxgxaxfnxfxMn。由准则知在上一致收敛，设极限函数为，则连续。并且考虑到知取极限有。这是方程。所以由有，取极限,()()sup()()sup()xRxyRgxfxMgxfxMafxax则有则。即使得