2012高中数学复习讲义(通用版全套)第一章_集合与简易逻辑-Copy

第1页【辅导专用】共11页集合与简易逻辑引：第三次数学危机到19世纪末，康托尔的集合论已经得到数学家的承认，集合论也成功地应用到其他的数学分支。集合论是数学的基础，由于集合论的使用，数学似乎已经达到了无懈可击的地步。但是，正当数学家们熟练地应用集合论时，数学帝国又爆发了一次危机。康托尔集合论的创造性成果为数学提供了广泛的理论基础，所以在1900年巴黎国际数学会议上，法国大数学家庞加莱宣称：“数学的严格性，看来直到今天才可以说实现了。”但事隔两年后，却传出一个惊人的消息：集合论的概念本身出现了矛盾。这就是英国数学家罗素提出的著名的悖论，罗素悖论的内容用一句话表述就是：所有不以自己为元素的集合组成一个集合，记为A；则有集合A包含A等价于集何A不包含A这样的悖理【5】。罗素悖论一提出就在当时的数学界和逻辑学界引起了极大的震动。这一悖论引起的巨大反响则导致了数学史上的第三次危机。小城里的理发师放出豪言：他要为城里所有不为自己刮脸的人刮脸，而且只为那些不为自己刮脸的人刮脸。但问题是：理发师该给自己刮脸吗？如果他给自己刮脸，那么按照他的豪言“只为那些不为自己刮脸的人刮脸”他不应该为自己刮脸；但如果他不给自己刮脸，同样按照他的豪言“为城里所有不为自己刮脸的人刮脸”他又应该为自己刮脸。第1课时集合的概念及运算【考点导读】1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．3.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．4.集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．1、若干个（有限个或无限个）确定对象的全体，可以看作一个集合。集合的元素特征：确定性；互异性；无序性。注意：集合｛0｝与空集的区别：前者是含有一个元素“0”的集合，后者是不含元素的集合。例1：下列各项中不能组成集合的是（A）所有正三角形（B）《数学》教材中所有的习题第2页【辅导专用】共11页（C）所有数学难题（D）所有无理数2、元素与集合的关系一个集合A与一个对象a，要么a是A中的元素，记作aA（读作a属于A）；要么a不是A中的元素，记作aA（读作a不属于A）。这个性质即为集合中元素的确定性。在元素与集合之间，只能用或表示，它们之间只存在这两种关系。例2、若A={x|x=0}，则下列各式正确的是（A）φ=A（B）φ∈A（C）{0}∈A（D）0∈A3、集合的表示方法我们用列举法与描述法表示一个集合。列举法就是把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号中。描述法就是通过描述集合中所有元素的共同特性来表示集合，一般写作x|x具有某种特性。+我们应熟练记住一些常用的数学符号：自然数集可以用N表示；正整数集可以用N表示；整数集可以用Z表示；有理数集可以用Q表示；实数集可以用R表示。例3、用列举法表示集合(x,y)|2xy50,xN,yN____________________例4、解不等式x32，并把其正整数解表示出来__________________________.二、集合与集合的关系1、子集第3页【辅导专用】共11页对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集，记作AB。任何集合都是自己的子集；空集是任何集合的子集。2、真子集对于两个集合A和B，如果集合AB，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的集合讲义真子集，记作AB。含有n(nN*)个元素的有限集合的子集个数为2个，真子集个数为21个，非空子集个数为21个，nnn非空真子集个数为22个。3、相等的集合对于两个集合A和B，若AB且BA则称集合A与集合B相等，记作AB。也就是说，集合A和集合B含有完全相同的元素。由定义可知，要证集合A与B相等，只需证明AB且BA。n三、集合的运算集合的运算从文字语言、符号语言和图形语言三个角度来认识和理解。1、交集(1)定义由集合A与集合B的所有公共元素组成的集合叫做A与B的交集，记作“AB”。即ABx|xA且xB(2)交集的性质。①ABBA；②AAA；③A；④ABA,ABB；⑤若ABA，则AB；反之亦然。第4页【辅导专用】共11页例5、设集合Ax|x2，Bx|x3，则A∩B=______________________.例6、设集合A(x,y)|y2x1，B(x,y)|yx3，求A∩B.2、并集（1）定义由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A与B的并集，记作“AB”。即ABx|xA或xB。（2）并集的性质①ABBA；②AAA；③AA；④AAB,BAB；⑤若ABB，则AB；反之亦然。例7、设集合Ax|x3或x3，Bx|x1或x4，则A∪B=_____________3、补集（1）定义设U为全集，A是U的子集，则由U中所有不属于集合A的元素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作CUA。即（2）补集的性质①CUAx|xU且xA。CUCUAA；②CuU,CuU；③CUAA，CUAAU；④若AB，则ACUB；若AB，则BCUAU⑤若CUABCUACUB，CUABCUACUB。5.1,3,5,7,9，CUB1,4,6,8,9，求集合B.【基础练习】1.集合{(,)02,02,,}xyxyxyZ用列举法表示．2.设集合{21,}AxxkkZ，{2,}BxxkkZ，则AB．3.已知集合{0,1,2}M，{2,}NxxaaM，则集合MN_______．4.设全集{1,3,5,7,9}I，集合{1,5,9}Aa，{5,7}ICA，则实数a的值为_______．第5页【辅导专用】共11页答案：{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}{0,2}8或2【范例解析】例.已知R为实数集，集合2{320}Axxx.若RBCAR，{01RBCAxx或23}x，求集合B.分析：先化简集合A，由RBCAR可以得出A与B的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.解：（1）{12}Axx，{1RCAxx或2}x.又RBCAR，RACAR，可得AB.而{01RBCAxx或23}x，{01xx或23}x.B借助数轴可得BA{01xx或23}x{03}xx.【反馈演练】1．设集合2,1A，3,2,1B，4,3,2C，则CBAU=_________．2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{PQbPaba若}6,2,1{Q，则P+Q中元素的个数是____8___个．3．设集合2{60}Pxxx，{23}Qxaxa.（1）若PQP，求实数a的取值范围；（2）若PQ，求实数a的取值范围；（3）若{03}PQxx，求实数a的值.解：（1）由题意知：{23}Pxx，PQP，QP.①当Q时，得23aa，解得3a．②当Q时，得2233aa，解得10a．综上，(1,0)(3,)a．（2）①当Q时，得23aa，解得3a；第6页【辅导专用】共11页②当Q时，得23,3223aaaa或，解得3532aa或．综上，3(,5][,)2a．（3）由{03}PQxx，则0a．第2课命题及逻辑联结词引子：“我爱你”的逆否命题是什么？【考点导读】1.了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．2.了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．3.理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．如果天下雨，那么地面湿（1）变化1把命题（1）的条件与结论互换，得如果地面湿，那么天下雨。（2）变化2把命题（1）的条件与结论都否定，得如果天没下雨，那么地面不湿。（3）变化3把命题（1）的条件与结论互换后再否定，得如果地面不湿，那么天没下雨。2.2四种命题命题（1）与（2）、（3）与（4）是互逆命题，其特点是，条件与结论交换了位置。命题（1）与（3）是互否命题。因为命题（3）的条件和结论，恰好是命题（1）的条件与结论的否定，反过来也一样。命题（2）与命题（4）的关系也是如此。第7页【辅导专用】共11页命题（1）与（4）是互为逆否命题。因为命题（4）的条件与结论，恰好是命题（1）的结论与条件的否定，反过来也一样。命题（2）与（3）的关系也是如此。设命题（1）为原命题，那么命题（2）为逆命题，命题（3）为否命题，命题（4）为逆否命题。一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用￢p和￢q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题若p则q；逆命题若q则p；否命题若￢p则￢q；逆否命题若￢q则￢p。【基础练习】1.下列语句中：①230x；②你是高三的学生吗？③315；④536x．其中，不是命题的有________．2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为，否命题可表示为，逆否命题可表示为；原命题与互为逆否命题，否命题与互为逆否命题．答案①②④_若q则ppq若则qp若则逆否命题逆命题【范例解析】例1.写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.（1）平行四边形的对边相等；（2）菱形的对角线互相垂直平分；（3）设,,,abcdR，若,abcd，则acbd.分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题.解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.（2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题.（3）原命题：设,,,abcdR，若,abcd，则acbd；真命题；逆命题：设,,,abcdR，若acbd，则,abcd；假命题；否命题：设,,,abcdR，若ab或cd，则acbd；假命题；第8页【辅导专用】共11页逆否命题：设,,,abcdR，若acbd，则ab或cd；真命题.点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即p时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假.（1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；（2）p：矩