20130120期末试题答案(AA)

1一．填空题（每小题4分，共20分）1．设**210=1202001AABABAE，，则1201=2103001B.2．设3R的一组标准正交基为221212122123333333333(,,),(,,),(,,)TTT，则向量(1,0,2)T在标准正交基123,,下的坐标为(0,2,1)T.3．设1231233,2223Apbt，方程组Axb无解，则t和p满足的关系式是2tp.4．设1-11=4-3-35Axy，已知矩阵A有三个线性无关的特征向量，2是A的二重特征值，则x=2,y=-2.5.设101=020101A，矩阵2BkEA，其中k为实数，E为单位矩阵，当k满足02kk且时，B为正定矩阵..二．选择题（每小题3分，共15分）1.设n阶矩阵AB，均非n阶单位矩阵E，且满足ABEAB，则必有（B）。（A）0,0A-EB-E（B）0,0A-EB-E（C）0,0A-EB-E（D）0,0A-EB-E2.设有n维列向量组:12:,,,rA；12:,,,rBrn，矩阵12,,,rA，厦门大学2011级《线性代数A》课程试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）2013.01.20212,,,rB，则（C）。（A）矩阵A、B等价时，向量组A、B必等价（B）矩阵A、B等价时，向量组A、B必不等价（C）向量组A、B等价时，矩阵A、B必等价（D）向量组A、B等价时，矩阵A、B必不等价3.设mn矩阵A的秩RAmn，则下列结论中不正确的是（C）.（A）A中必有m个列向量线性无关（B）若矩阵B使得BA=0，则必有B=0（C）A经过初等行变换可化为,mEO（D）Ax必有无穷多解4.在下列各组矩阵中12-104365与；12100121与；10200201与两两相似的矩阵共有（D）。（A）0组（B）1组（C）2组（D）3组5．设A为n阶对称矩阵，则A为正定矩阵的充分必要条件是（D）。（A）对任意n维非零向量x，均有0TxAx（B）存在n阶矩阵C，使得TACC（C）A没有负特征值（D）A与单位矩阵合同三．（10分）设矩阵2111211214,4622436979A求矩阵A的列向量组12345,,,,的秩和一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示。解对矩阵A施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵：1121410104011100110300013000130000000000A3知R(A)=3,故列向量组的秩为3，该向量组的极大无关组含3个向量，124,,为该向量组的一个极大无关组，35,可由124,,线性表示为：3125124,433四.（15分）设向量组123101=1=2,=121a,，向量20b，当,ab取何值时,（1）向量不能由向量组123,,线性表示；（2）向量能由向量组123,,线性表示，且表示法惟一；（3）向量能由向量组123,,线性表示，且表示法不惟一，并求出一般表达式.解设112233xxx,即131231232,20,2.xxxxxxxaxb若令123,,A，123,,Txxxx，则上述线性方程组可表示为Ax.对线性方程组的增广矩阵做初等行变换有1012101212100111210013,ababBA（1）13()2()3abrArA当且，，方程无解,此时向量不能由向量组123,,线性表示；（2）1()()3arArA当，对任意b,均有，方程有惟一解，此时向量能由向量组123,,线性表示，且表示法惟一；（3）13()()23abrArA当且，，方程有无穷解，此时向量能由向量组123,,线性表示，且表示法不惟一，此时4101201110000B,与Axb同解的线性方程组为132321xxxx.因此向量能由向量组123,,线性表示为123=21,ccccR其中。五．(15分)设矩阵A为54型矩阵，其秩()2RA，又1=T1,1,2,3，2=T-1,1,4,-1，3=T-1,-1,0,-1为Axb的三个解向量，求对应的齐次线性方程组0Ax的解空间的一组标准正交基.解由已知知112213=,=TT2,0,-2,42,2,2,4是齐次线性方程组0Ax的两个线性无关的解.利用矩阵A为54型矩阵，其秩()2RA可知0Ax的解空间的维数为4-2=2，又12,是0Ax的两个线性无关的解，因此它们是0Ax的解空间的一组基.令11T2,0,-2,4，2122111,2104=,2,,,333T.再令1111112666T,0,-,，2221135239393939T,,,，则12,即为齐次线性方程组0Ax的解空间的一组标准正交基.六.(15分)设101011,1001TAAaa为矩阵A的转置，已知2RA，且二次型TTfxAAx.（1）求a.（2）求正交变换xQy将二次型f化为标准型.5解（1）由2RA，可得A的一个三阶子式1010111010aa，故1a.(2)计算可得二次型矩阵101101020201101010221011111224011TBAA，矩阵B的特征多项式20202226224BE，故B的特征值为1230,2,6。对10解线性方程组10BEx的对应的特征向量为1111，对22解线性方程组20BEx的对应的特征向量为2110，对36解线性方程组30BEx的对应的特征向量为3112.单位化可得123111362111,,32601236qqq，令123,,Qqqq，显然Q为正交矩阵，且令xQy，则二次型f的标准型为222326fyy.6七.(10分)设n阶矩阵A，B的乘积可交换，即AB=BA，又已知A有n个互不相同的特征值，证明：（1）A的特征向量必是B的特征向量；（2）B相似于对角矩阵.证明(1)设,0Axxx，左乘B可得,0BAxBxx.利用AB=BA可得,0ABxBxx.如果0Bx，则x是矩阵B属于特征值0的特征向量;如果0Bx，则Bx仍是矩阵A属于特征值的特征向量。又已知A有n个互不相同的特征值，因此是A的单特征值，故,Bxx线性相关，即存在常数使得,0Bxxx.综合有A的特征向量必是B的特征向量.(2)A有n个互不相同的特征值，必有n个线性无关的特征向量，由（1）知它们也是矩阵B的n个线性无关的特征向量，故B相似于对角矩阵.