工程力学-压杆稳定

Dec12,2014压杆稳定压杆稳定性的概念2压杆稳定性的概念3轴向拉压杆的强度失效塑性材料σlim＝σs，过大塑性变形脆性材料σlim＝σb，断裂相应的强度条件nAFlimN只适用于拉杆和“粗短”的压杆。对于“细长”的压杆，失效的形式与上述强度失效不同。F直杆受压变弯的现象，称为失稳。——压杆的一种失效形式。压杆稳定性的概念4(a)(d)(c)图11-1(b)在工程实际中，其它构件也需要考虑稳定问题。本章只讨论直杆的稳定问题。实际中，很多构件需要考虑稳定性(a)(d)(c)图11-1(b)(a)(d)(c)图11-1(b)(a)(d)(c)图11-1(b)压杆稳定性的概念当外力超出一定范围时，平衡形式也会发生变化————失去稳定性。5平衡的稳定性小球原有的平衡具有稳定性。小球原有的平衡不具有稳定性。平衡是稳定的平衡是不稳定的随遇平衡6压杆的稳定性：指压杆受轴向压力后，其直线平衡状态的稳定性。（1）PPcr（3）P=PcrPP压杆原有的直线平衡形式不是稳定的。压杆不具有稳定性Pcr压杆的直线平衡形式为过渡状态。临界状态Pcr临界载荷PPcr压杆失效P压杆原有的直线平衡形式是稳定的。压杆具有稳定性（2）PPcr压杆稳定性的概念71、临界载荷是压杆保持稳定平衡的最大力，也是使压杆失稳的最小力。由上述讨论得：2、要保证压杆的稳定性，必须使压杆所受的轴向压力小于临界载荷。压杆的稳定问题转化为求临界载荷的问题。8细长压杆的临界载荷欧拉公式一、两端铰支细长压杆的临界载荷PPxyyxABPPxyMMPy代入挠曲线近似微分方程EIyM(x)Py令2PkEI20yky该微分方程的通解为式中A、B为积分常数杆的边界条件代入通解得yAsinkxBcoskx00xy0xlyB＝0Asinkl0A≠00sinkl........3,2,1nnkl222nEIPlnyAsinxl利用挠曲线微分方程求临界载荷。9两端铰支、细长压杆，处于临界状态。利用挠曲线微分方程求临界载荷。C12l2lPPxyAByx222nEIPlnyAsinxl讨论：1、n=0，没有意义。2、n=2、3时，挠曲线如图。n=2n=3中间没有支座，压杆不会弯成这种形状。3、临界载荷是压杆失稳的最小力。n只能等于1。22crEIPl4、挠曲线方程yAsinxlA为挠曲线中点的挠度。1011.2.2其他约束情况下细长压杆的临界载荷推导方法：仿照两端铰支、细长压杆的临界载荷的推导方法，利用微分方程推导。22crEIP(l)细长压杆的临界载荷公式。（欧拉公式）为长度因数，l为相当长度。1、Pcr∝EI2、杆端约束越强，Pcr越大。0.50.712长度系数挠曲线图形两端固定一端铰支一端固定两端铰支一端固定一端自由杆端支承情况PcrlPcrPcrllPcrlPcrlllPcrllPcrlPcrllPcr1122crEIP(l)细长压杆的临界载荷公式。若杆在不同的纵向平面内约束相同，计算临界载荷时取Imin。因为随着轴向压力增大，压杆总是在抗弯能力差的纵向平面内弯曲。xyzyzlyzbh例11-1细长压杆，材料Q235，l=4m,b=50mm,h=150mm，E=200GPa，求临界载荷。解：141562500mm2322001015625001925704000crPN()若杆在不同的纵向平面内约束不相同，分别计算临界载荷取较小的值。3min50150121IIPP12压杆分类欧拉公式适用范围11.3.1临界应力与柔度的概念临界应力：临界状态时压杆横截面上的应力。22crcrPEIAlAAIi惯性半径柔度：il22Ecr临界应力：222ilE关于柔度（长细比）：1、无量纲。综合反映了杆长、约束、截面形状与几何尺寸对Pcr的影响。2、相同材料制成的压杆，稳定性取决于。大，稳定性差。3、在不同的纵向平面内约束、惯性矩不相同，则不同，计算临界载荷（应力）时，取较大的值。4、若要使压杆在不同的纵向平面内稳定性相同，应使2211ilil13欧拉公式的适用范围大柔度杆（细长杆）欧拉公式MyEIEIM1EP弹性范围：所以：PcrE22从而：PE2对于A3钢（Q235）E＝200GPa，σP＝200MPa。PE2100P对于用A3钢（Q235）制成的压杆，当大于100时才可用欧拉公式计算临界载荷。当大于P时才可用欧拉公式计算临界载荷。由此可见：称大于P的压杆为细长杆或大柔度压杆。14压杆分类、临界应力总图实际中的压杆，往往小于P。当P，crP，欧拉公式不成立。材料进入弹塑性阶段，此时的稳定问题属于弹塑性稳定。临界应力常常采用经验公式：bacra、b为材料常数，单位MPa.对于Q23512.1304cr为实际压杆的柔度，仍由计算。il由知，越小，，cr越大。当小于某值时，bacrscr压杆的强度不允许。15scrba所以，直线公式当成立。即bass材料常数因此，当S≤≤P时可以用直线公式。ssa.b.304235616112对于A3钢（Q235）σs＝235MPa。12.1304cr称s≤≤P的杆为中柔度杆。压杆分类、临界应力总图16称s的杆为小柔度杆（粗短杆）。由于压杆失稳前就会出现强度失效。因此，此类杆不会出现失稳现象。若将其归入稳定范畴：极限应力cr塑性材料：s脆性材料：b当s，ssabscrba压杆分类、临界应力总图17cr22Ecr讨论稳定性问题时，先计算，判断压杆类型，选用相应公式。越大，压杆的临界应力越小，稳定性越差。Ps临界应力总图sPscrbacr小柔度杆中柔度杆大柔度杆18210GPaE＝280MPaP＝例11-2螺旋千斤顶，丝杠的材料为45号钢，其，，306MPas＝400mml＝40mmd＝。丝杠的为长度，内径。试求其临界载荷。解：（1）计算压杆的柔度，判断压杆的类型：2=横截面的惯性半径：4010mm44IdiA＝＝==丝杠的柔度：24008010li´＝＝＝465MPaa＝2.568MPab＝对于45号钢：则46530661.92.568ssab=-==-2232101086280ppE＝创=?由于柔度s＜＜P，所以丝杠为中柔度杆。（2）计算临界应力和临界载荷：4652.56880259.6MPacrab＝＝＝--´240259.6326057N326kN4crcrPA»创＝＝＝丝杠可以简化为一端固定另一端自由的压杆，故长度系数为采用直线公式19例11-3一矩形截面杆，两端为柱铰。材料为Q235，E=210GPa，截面边长b=40mm，h=60mm，。求临界载荷。zxPP解：（1）在xy面，两端铰支=1，若失稳弯曲，z为中性轴。zzIi.mmA1732zzli.120001151732（2）在xz面，两端固定=0.5，若失稳弯曲，y为中性轴。yyIi.mmA1155yyl..i.10520008661155z连杆在xy面属于细长杆，在xz面不属于细长杆。PP2000xyyzbhzbhI312yhbI31220例11-3一矩形截面杆，两端为柱铰。材料为Q235，E=210GPa，截面边长b=40mm，h=60mm，。求临界载荷。zxPP解：（1）在xy面，两端铰支=1，若失稳弯曲，z为中性轴。zzIi.mmA1732zzli.120001151732（2）在xz面，两端固定=0.5，若失稳弯曲，y为中性轴。yyIi.mmA1155yyl..i.10520008661155z连杆在xy面属于细长杆，在xz面不属于细长杆。PP2000xyyzbhzbhI312yhbI312（3）zy，连杆在xy面容易失稳计算临界载荷应以z计算。z＝115100，属于细长杆。用欧拉公式。crcrPAkN4060156374crE.MPa2232231421010115156/.kN233221010406012052000374crEIP(l)2221压杆稳定计算要保证压杆的稳定性，必须使压杆所受的轴向压力小于临界载荷。考虑到稳定贮备，取大于1的稳定安全系数nst。crstPPncrcrstPnnP稳定条件常见压杆的稳定安全系数nst在设计手册中给出。三类稳定计算问题稳定性校核、确定许可载荷、截面尺寸设计(稳定系数法)。压杆的工作压力或：压杆的工作安全因数2280kNP＝[]3stn＝轴向压力为，规定稳定安全系数。试校核其稳定性。375mml＝40mmd＝Q235例11-4一圆截面压杆，长度，直径，材料是钢，最大解：2＝P（1）计算压杆的柔度：4010mm44IdiA＝＝==237575404li´＝＝＝100p＝61.6s＝sp304MPa,1.12MPaab＝＝22()(3041.1275)40276320N277kN44crcrPabd＝＝＝=?--创?（2）计算临界载荷：压杆是中柔度杆。故临界载荷为:采用直线公式计算临界载荷。（3）校核压杆的稳定性：2773.46[]380crstPnnP＝＝＝＝压杆稳定性是满足要求的。Q235钢，对于长度系数23例11-5图示结构，AB材料为Q235，直径为d＝40mm。试求（1）直杆AB的临界载荷；（2）若Ab的稳定安全因数为[nst]=5,确定结构的最大载荷F。1.5m0.5mFQ30ºABCD解：（1）求AB的临界载荷AB的柔度il440cos30150014dl2173.P＝100AB属于细长杆，可用欧拉公式计算临界载荷22EcrMPa..86521731020023224crcrcrdPA231440658826458264..N.kN1＝长度系数24例11-5图示结构，AB材料为Q235，直径为d＝40mm。试求（1）直杆AB的临界载荷；（2）若Ab的稳定安全因数为[nst]=5,确定结构的最大载荷F。1.5m0.5mFQ30ºABCDFQ30ºCADFDyFDxFAB解：（1）求AB的临界载荷826crP.kN（2）利用稳定条件，AB的所承受的最大轴向力依题意82.616.5kN[]5ABcrstPFn==≤（3）结构的最大载荷0)F(mD301520ABFsin.F62F.kN25提高压杆稳定性的措施由于压杆的临界载荷是压杆保持稳定的最大力（稳定极限载荷），临界载荷越大，压杆的稳定性越好。因此，提高压杆的稳定性措施应从影响临界载荷的因素入手。crEIP(l)22Q235优质碳钢4652568cr.12.1304cr影响临界载荷的因素：（约束）l（杆长）I（截面形状与尺寸）材料261.尽量减小压杆的长度ll1气缸活塞活塞杆十字头BA不能减小长度时，也可在中间加支座。抱辊管坯顶杆27若杆为细长杆PlPl/2l/2crEIPl22crEIEIPll2222422.加强约束的牢固性丝杠导套对开螺母溜板l0d0滑动轴承尽可能增大宽度l01.500dl简化为铰支1.5300dl不完全铰支00dl3简化为固定端滑动轴承的约束情况由来确定。00dl杆端约束越强，值越小，临界载荷越大。若杆仍为细长杆283.选择合理的截面形状（1）压杆在各纵向平面约束相同时a、各方向惯性矩I相等：采用正方形、圆形截面。b、增大惯性矩I：采用空心截面。（2）压杆在各纵