2014年考研数学三真题与解析-高数

12014年考研数学三真题与解析一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．1．设0limaann，则当n充分大时，下列正确的有（）（A）2aan（B）2aan（C）naan1(D)naan1【详解】因为0aannlim，所以0，N，当Nn时，有aan，即aaan，aaan，取2a，则知2aan，所以选择（A）2．下列曲线有渐近线的是（A）xxysin（B）xxysin2（C）xxy1sin（D）xxy12sin【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以．【详解】对于xxy1sin，可知1xyxlim且01xxyxxsinlim)(lim，所以有斜渐近线xy应该选（C）3．设32dxcxbxaxP)(，则当0x时，若xxPtan)(是比3x高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（）（A）0a（B）1b（C）0c（D）61d【详解】只要熟练记忆当0x时)(tan3331xoxxx，显然31010dcba,,,，应该选（D）4．设函数)(xf具有二阶导数，xfxfxg)())(()(110，则在],[10上（）（A）当0)('xf时，)()(xgxf（B）当0)('xf时，)()(xgxf（C）当0)(xf时，)()(xgxf（D）当0)(xf时，)()(xgxf【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．2【详解1】如果对曲线在区间],[ba上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21xx,及常数10，恒有)()()()(212111xfxfxxf，则曲线是凸的．显然此题中xxx,,1021，则)()()(211xfxf)()())((xgxfxf110，而)()(xfxxf211，故当0)(xf时，曲线是凹的，即)()()()(212111xfxfxxf，也就是)()(xgxf，应该选（D）【详解2】如果对曲线在区间],[ba上凹凸的定义不熟悉的话，可令xfxfxfxgxfxF)())(()()()()(110，则010)()(FF，且)()(xfxF，故当0)(xf时，曲线是凹的，从而010)()()(FFxF，即0)()()(xgxfxF，也就是)()(xgxf，应该选（D）5、设duuyextt)1ln(20则022txdyd（）(A)e1(B)e1(C)0(D)1.6、设xdxunntan20，则级数nnu1()(A)发散.(B)条件收敛.(C)绝对收敛.(D)无法判断.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）7、设nxn21131211，则nnxlim25。8．设D是由曲线01xy与直线0yx及2y所围成的有界区域，则D的面积为．【详解】2ln210121010yydxdydxdyS9．设4120dxxexa，则a．【详解】41)12(4|)12(44120202aexedxxeaaxax．所以.21a310．二次积分dxexedyyyx11022．【详解】xyyxyyxdxedydyxedxdxexedy0110101102222xyxdyyedyxexd01010)1(22101010222dyyedyeeyydxx)1(21102edyyey三、解答题11．（本题满分10分）求极限)11ln())1((lim2112xxdttetxtx．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】)11ln())1((lim2112xxdttetxtxxdttetxtx112))1((lim))1((lim12xexxxxxoxxxx)1(211(lim2222112、设xxxf11arctan，求05f。（本题6分）解：211xxf，即112xfx。（※）等式（※）两边再对x求2阶导数得：02412xfxfxxfx，令0x，得20f。等式（※）两边对x求4阶导数得：01281452xfxxfxfx，令0x，得2401205ff。16．（本题满分10分）设平面区域004122yxyxyxD.,|),(．计算Ddxdyyxyxx)sin(22【详解】由对称性可得4ydxdyxyxxD)sin(22Ddxdyyxyxy)sin(22Ddxdyyxyxyx)sin()(2122ydxdyxD1)sin(2122drrrd2120sin214317．（本题满分10分）设函数)(uf具有二阶连续导数，)cos(yefzx满足xxeyezyzxz22222)cos4(．若0)0(',0)0(ff，求)(uf的表达式．【详解】设yeuxcos，则)cos()(yefufzx，yeufyeufxzeufxzxxyxcos)('cos)(,)('2222cos;yeufyeufyzyeufyzxxxcos)('sin)(,sin)('2222；xxxeyefeufyzxz222222)cos()(由条件xxeyezyzxz22222)cos4(，可知uufuf)()(4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：uueCeCuf2221)(其中21CC,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为uy41*．故非齐次方程通解为ueCeCufuu41)(2221．将初始条件0)0(',0)0(ff代入，可得161,16121CC．所以)(uf的表达式为ueeufuu41161161)(22．518．（本题满分10分）求幂级数0)3)(1(nnxnn的收敛域、和函数．【详解】由于1lim1nnnaa，所以得到收敛半径1R．当1x时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为11,．令和函数)(xS0)3)(1(nnxnn，则12)34()(nnxnnxS11)1()1)(2(nnnnxnxnn'1112nnnnxx32)1(3'11xxxxxx19．（本题满分10分）设函数)(),(xgxf在区间ba.上连续，且)(xf单调增加，1)(0xg，证明：（1）baxaxdttgxa,,)(0；（2）badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(．【详解】（1）证明：因为10)(xg，所以baxdtdttgdxxaxaxa,)(10．即baxaxdttgxa,,)(0．（2）令xadttgaaxaduufduugufxF)()()()()(，则可知0)(aF，且xadttgafxgxgxfxF)()()()()('，因为,)(axdttgxa0且)(xf单调增加，所以)()()(xfaxafdttgafxa．从而xadttgafxgxgxfxF)()()()()('0)()()()(xfxgxgxf，bax,也是)(xF在ba,单调增加，则0)()(aFbF，即得到badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(．