2014挑战中考压轴题之函数图象中点的存在性问题

2014挑战中考压轴题1函数图象中点的存在性问题2.1由比例线段产生的函数关系问题例12013年宁波市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．①求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．图1答案（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到2yx．图2图3图4（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：2014挑战中考压轴题2由△DMB∽△BNF，知122BNDM．设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得23m．因此4(0,)3D．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．图5图62014挑战中考压轴题3例22012年上海市徐汇区中考模拟第25题在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，53sinB，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．图1图2图3思路点拨1．∠B的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．2．分三种情况探究等腰△OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．3．探求y关于x的函数关系式，作△OBN的边OB上的高，把△OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形．满分解答（1）在Rt△ABC中，AC＝6，53sinB，所以AB＝10，BC＝8．过点M作MD⊥AB，垂足为D．在Rt△BMD中，BM＝2，3sin5MDBBM，所以65MD．因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离．图4（2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况．②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形．在Rt△BOM中，BM＝2，4cos5BOBBM，所以85BO．此时425OA．③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．在Rt△BOE中，BE＝32，4cos5BEBBO，所以158BO．此时658OA．2014挑战中考压轴题4图5图6（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON．当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．在Rt△BNF中，BN＝y，3sin5B，4cos5B，所以35NFy，45BFy．在Rt△ONF中，4105OFABAOBFxy，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2．于是得到22243()(10)()55xyxyy．整理，得2505040xyx．定义域为0＜x＜5．图7图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在Rt△BMF中，BM＝2，65MF，85BF．在Rt△OMF中，OF＝8421055xx，所以222426()()55OMx．在Rt△BPQ中，BP＝1，35PQ，45BQ．在Rt△OPQ中，OF＝4461055xx，所以222463()()55OPx．①当MO＝MP＝1时，方程22426()()155x没有实数根．②当PO＝PM＝1时，解方程22463()()155x，可得425xOA③当OM＝OP时，解方程22426()()55x22463()()55x，可得658xOA．2014挑战中考压轴题5例32012年连云港市中考第26题如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．图1答案（1）当M、N都在O右侧时，24122OMttOA，642163ONttOB，所以OMONOAOB．因此MN与AB不平行．（2）①如图2，当M、N都在O右侧时，∠OMN＞∠B，不可能△OMN∽△OBA．②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON＞∠BOA，不可能△OMN∽△OBA．③如图4，当M、N都在O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么ONOAOMOB．所以462426tt．解得t＝2．图2图3图4（3）①如图2，24OMt，12OHt，3(12)MHt．(64)(12)52NHONOHttt．②如图3，42OMt，21OHt，3(21)MHt．(64)(21)52NHONOHttt．③如图4，42OMt，21OHt，3(21)MHt．(21)(46)52NHOHONttt．综合①、②、③，s222MNMHNH22223(21)(52)16322816(1)12ttttt．所以当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．2014挑战中考压轴题6例42011年上海市中考第25题在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，12sin13EMP．（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．图1图2备用图思路点拨1．本题不难找到解题思路，难在运算相当繁琐．反复解直角三角形，注意对应关系．2．备用图暗示了第（3）题要分类讨论，点E在BC上的图形画在备用图中．3．第（3）题当E在BC上时，重新设BP＝m可以使得运算简便一些．满分解答（1）在Rt△ABC中，BC＝30，AB＝50，所以AC＝40，3sin5A，3tan4A．在Rt△ACP中，3sin40245CPACA．在Rt△CMP中，因为12sin13CPCMPCM，所以131324261212CMCP．（2）在Rt△AEP中，3tan4EPAPAx．在Rt△EMP中，因为12sin13EPEMPEM，所以12tan5EPEMPMP．因此55351212416MPEPxx，13133131212416EMEPxx．已知EM＝EN，PE⊥AB，所以MP＝NP516x．2014挑战中考压轴题7于是52150501616yBNABAPNPxxx．定义域为0＜x＜32．（3）①如图3，当E在AC上时，由AMENMENB，得51316161321501616xxxxx．解得x＝AP＝22．②如图4，当E在BC上时，设BP＝m，那么AP＝50－m．在Rt△BEP中，43EPm．在Rt△EMP中，5545121239MPEPmm，131313412129EMEPmm．所以514505099AMABBPMPmmm，54599BNBPNPmmm．这时由AMENMENB，得1413509913499mmmm．解得m＝BP＝8．所以AP＝50－m＝42．图3图4图5考点伸展如果第（3）题没有条件“△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应”，那么还存在图5所示的一种情况，∠EAM＝∠EBN，此时PE垂直平分AB，AP＝25．2014挑战中考压轴题82.2由面积产生的函数关系问题例12013年菏泽市中考第21题如图1，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数334yx的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数218yxbxc的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？图1思路点拨1．求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由AD＝BC可以得到．2．设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来．3．四边形PDCQ的面积最小，就是△APQ的面积最大．满分解答（1）由334yx，得A(0,3)，C(4,0)．由于B、C关于OA对称，所以B(－4,0)，BC＝8．因为AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)．将B(－4,0)、D(8,3)分别代入218yxbxc，得240,883.bcbc解得14b，c＝－3．所以该二次函数的解析式为211384yxx．（2）①设点P、Q运动的时间为t．如图2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝45．2014挑战中考压轴题9当PQ⊥AC时，45AQAP．所以545tt．解得259APt．图2图3②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．由于S△APQ＝2111333sin(5)2225102APQHAPAQPAQtttt，S△ACD＝11831222ADOA，所以S四边形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝2233358112()()1021028ttt．所以当AP＝52时，四边形PDCQ的最小值是818．考点伸展如果把第（2）①题改为“当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？”除了PQ⊥AC这种情况，还有QP⊥AD的情况．这时45APAQ，所以455tt．解得209t（如图4所示）．图42014挑战中考压轴题10例22012年广东省中考第22题如图1，抛物线213922yxx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．图1思路点拨1．△ADE与△ACB相似，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE与△ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由21319(3)(6)222yxxxx，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)．所以AB＝9，OC＝9．（2）如图2，因为DE//CB，所以△ADE∽△ACB