2013届江苏省高三数学二轮复习专题讲座5--三角函数二轮复习建议(玄武高级中学)

三角函数二轮复习建议在江苏高考考试说明中，三角函数部分涵盖了八个知识点，其中两角和（差）的正弦、余弦和正切为C级点，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质及几个三角恒等式为A级点，其余均为B级点，高考中一般以基础题为主，难度基本为容易题或中档题，涉及到的问题主要有三个方面——三角函数的图象与性质、三角变换和解三角形．二轮复习应紧紧抓住这三个方面，对于典型问题应从解题策略上讲清讲透，使学生对典型问题的解题思路和方法做到心中有数，让学生练到位，力争拿高分．本单元二轮专题和课时建议：专题内容说明（核心）第一、二课时三角函数的图象与性质周期、值域、单调性、奇偶性、图象变换第三、四课时三角变换和差倍角公式、求值、证明第五、六课时解三角形正、余弦定理第一、二课时三角函数的图象与性质教学目标1.充分运用数形结合的思想，把三角函数的图象（正、余弦曲线或单位圆）和性质两者紧密结合起来，既利用图象的直观性描述其性质，又能利用函数的性质细化其图象；2.能运用三角公式将所给函数解析式正确转化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，进而研究函数的单调性，周期性，奇偶性，及函数在某给定区间上的值域问题；3．掌握简单的函数图象变换问题．专题回顾1．已知函数f(x)＝sin(ωx＋π6)（ω＞0）的最小正周期为π，则ω＝_________，它的对称中心是________________________，对称轴方程是_______________________，单调增区间为___________________________，若x∈[0，π2]，则函数f(x)的值域为_____________．2．当函数f(x)＝sinx－cos(x＋π6)取得最大值时，x＝_______________．3．将函数y＝sin2x的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是____________________．4．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)（ω＞0）的图象如右图所示，则ω＝_________，若φ∈(－π，0)，则φ＝___________．5．已知函数f(x)＝cos(x＋φ)－3sin(x＋φ)（0＜φ＜π）是偶函数，则φ的值为_________．6．已知ω＞0，函数f(x)＝sin(ωx＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是__________．yOyxπ32π31y典型例题基本题型一：研究函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的周期性，单调性及该函数在某指定区间上的值域．例1．已知函数f(x)＝sin(2x＋π3)＋sin(2x－π3)＋2cos2x－1，x∈R．（1）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；（2）求函数f(x)在区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．说明：对函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的相关性质的考查是三角函数部分的重要内容之一，这类问题经常以齐次式的形式出现，需要学生经过两角和与差的正余弦、降幂、辅助角等变形，进而转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式．教学中应加强对此类题型的训练，不轻易放弃任何一个学生，这不仅是考高分的基础，更是提高均分的一个关键点．基本题型二：通过对函数图象的研究函数的性质，或经过简单的函数图象变换，研究变换后的函数的相关性质．例2．已知向量m＝(sinx，1)，n＝(3Acosx，A2cos2x)（A＞0），函数f(x)＝m·n的最大值为6．（1）求A；（2）将函数y＝f(x)的图象向左平移π12个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，5π24]上的值域．说明：以平面向量为载体，通过平面向量的共线或垂直，转化为与三角函数有关的问题．在处理与三角有关的问题时，除需掌握例1中解决问题的基本方法外，还需注意与图象变换有关的问题，正确处理图象的平移和伸缩变换与解析式之间的关系．第（2）题中也可将两种变换交换一下变换的次序，进而使学生能真正把握住平移变换和伸缩变换．基本题型三：给出函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的某种性质（周期性、单调性或最值），求待定字母系数的取值（或范围）．例3．设f(x)＝4cos(ωx－π6)sinωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0．（1）若f(x)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点间的距离为π2，求ω的值；（2）若f(x)在区间[－3π2，π2]上为增函数，求ω的最大值．说明：对函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的性质的研究，有时也会反过来研究，即先给出它的某种性质，通过对这些性质的识别得出函数的解析式，如该题中f(x)图象与x轴的交点中相邻两交点间的距离就是该函数的半个周期，对于这类性质的刻画还可以通过两邻两对称轴间的距离，过最高或最低点的曲线的切线两邻两切点间的距离等来体现．本题的第（2）问也可以改成：若，且f(x)在(π6，π3)上的有最小值而没有最大值，求ω的值．基本题型四：与三角函数有关的应用问题．例4．有一个圆心角为120°，半径为R的扇形铁片，要在其中截下一矩形铁片，有两种截法：如图（a），矩形的一边在半径OA上：如图（b），矩形的一边平行于弦AB．请问：哪一种截法截下的矩形面积最大？并求这个矩形的最大面积．说明：与三角函数有关的应用问题是热点之一，在08年和10年都曾涉及到，在列出函数解析式后，根据解析式的特点，选择求最值的方法，有时可直接利用求三角函数的最值的方法，有时可能需转化成其它的基本函数类型，还有时需要利用导数来解决问题．在讲解时，不妨可以把江苏08年和10年的高考题拿出来一并处理．课后检测一、填空题1．函数y＝2cos2(x－π4)－1是最小正周期为________的________函数（奇偶性）．2．函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx，当0≤x＜π2时，f(x)的最大值为_________，最小值为_________．OABCDE图(a)OMABQPN图(b)3．函数f(x)＝(sinx－cosx)2的单调递增区间为________________________．4．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的_________________条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件或既不充分也不必要条件）5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数f(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象向________平移________个单位长度．6．已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω＞0)，y＝f(x)的图像与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是____________________．7．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为_____________．8．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f(π2)＝－23，则f(0)＝__________．9．设函数f(x)＝2sin(2x＋π3)，则下列结论正确的是________．①f(x)的图像关于直线x＝π3对称；②f(x)的图像关于点(π4，0)对称；③把f(x)的图像向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图像；④f(x)的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数．10．已知f(x)＝sin(ωx＋π3)(ω＞0)，f(π3)＝f(2π3)，且f(x)在区间(π3，2π3)有最大值，无最小值，则ω＝________．二、解答题11．已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx，23cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ（x∈R）的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．（1）求函数f(x)的最小正周期;（2）若y＝f(x)的图象经过点(π4，0)，求函数f(x)在区间[0，3π5]上的取值范围．12．设函数f(x)＝cos2ωx＋3sinωxcosωx＋a（其中a∈R，ω＞0）且f(x)的图像在y轴右侧的第一个高点的横坐标为π6．（1）求ω的值及函数f(x)的单调增区间；（2）如果f(x)在区间[－π6，π12]上的最大值为3，求a的值．13．若函数f(x)＝sinωx(sinωx－cosωx)（ω＞0）的图像与直线y＝m（m为常数）相切，并且yOoyxy－23π27π1211π12切点的横坐标依次成等差数列，公差为π2．（1）求m的值；（2）若点A(x0，y0)是y＝f(x)图像的对称中心，且x0∈[0，π2]，求点A的坐标．14．设函数f(x)＝22cos(2x＋π4)＋sin2x．（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）设函数g(x)对任意x∈R，有g(x＋π2)＝g(x)，且当x∈[0，π2]时，g(x)＝12－f(x)，求函数g(x)在[－π，0]上的解析式．第三、四课时三角变换教学目标1.熟练掌握同角三角函数间的基本关系、正余弦的诱导公式、两角和与两角差的正余弦和正切公式、二倍角的正余弦和正切公式．2.掌握三角变换的基本解题规律：寻找联系，尤其是角与角之间的联系，能够用已知角表示未知角，缩小已知条件和所求结论之间的差异，并最终消除差异．要注意积累各种变换方法与技巧，不断提高分析和解决问题的能力．专题回顾1.已知sinα＝55，则sin4α－cos4α＝_____________．2．已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝______________．3．已知x∈(－π2，－π6)，cos(x＋π6)＝45，则sinx＝_________________．4．已知sinα＝55，sinβ＝1010，且α，β为锐角，则α＋β的值为__________．5．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝__________________．6．设α为锐角，若sin(α－π3)＝－35，则cos(2α－π6)的值为__________．典型例题基本题型一：已知一个角的三角函数值，求三角表达式的值．例1．已知tanα2＝2，求:（1）tan(α＋π4)的值；（2）6sinα＋cosα3sinα－2cosα的值．说明：三角函数式的求值问题是一类重要的三角问题，不仅可以在小题中进行考查，也可以在解答题中进行考查．解决这类问题的基本方法和策略就是研究已知和所求之间的差异，这种差异可以角，可以函数名称，也可以函数表达形式，解决问题的目标就是消除这种差异，一般情况上，首先考虑消除的是角的差异，其次是函数名称的差异，最后是表达形式上的差异．此题是一种较为典型的三角求值问题，其中不仅有角的差异，也有函数名的差异，在消除函数名的差异时，除可以利用同角间的三角函数间的关系，根据正切分别求出正余弦外，也可以利用正余弦的齐次分式直接转化为切的分式．解题时，既要讲切化弦，也得讲一讲弦化切的解题方法．如（2）中可改求一个关于角α的正余弦的二次齐次式的值．基本题型二：与三角函数的图象与性质有关的综合问题．例2．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋π6)(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.（1）求ω的值；（2）设α，β∈[0，π2]，f(5α＋5π3)＝－65，f(5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．说明：三角求值问题中，研究已知角和所求角之间的关系，较常见的方法是用已知角去表示所求角，从而将问题转化为两角和与差的三角函数的求值问题或二倍角的计算问题，但有时用已知角表示所求角不太方便求解，也需学会将已知角用所求角去表示，从而将问题转化为方程或方程组问题．如可在此补充：已知0＜α＜π2，0＜β＜π2，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，求α＋β的值．此题中，若能将条件3sinβ＝sin(2α＋β)中的β表示成(α＋β)－α，并把2α＋β表示成(α＋β)＋α，那么问题的解决将会易如反掌．例3．函数f(x)＝Asin(ωx－π6)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图像