2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件第2章圆锥曲线与方程232抛物线的简单几何性质

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修1-11-2第二章圆锥曲线与方程成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1圆锥曲线与方程第二章第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12.3抛物线第二章2.3.2抛物线的简单几何性质第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1典例探究学案2课时作业3自主预习学案1第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1自主预习学案第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-11.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1重点：抛物线的几何性质．难点：抛物线几何性质的运用．第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1思维导航1．类比椭圆、双曲线的性质，结合图形和方程，说出抛物线y2＝2px(p0)的范围、对称性、顶点、离心率．抛物线的几何性质第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1新知导学1．抛物线y2＝2px(p0)的简单几何性质(1)对称性：以－y代y，方程y2＝2px(p0)不变，因此这条抛物线是以________轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的________，抛物线只有一条对称轴．(2)顶点：抛物线和它的______的交点叫做抛物线的顶点．x轴轴第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(3)离心率：抛物线上的点到______的距离和它到_______的距离的比，叫做抛物线的离心率，抛物线的离心率为1.(4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为_______.(5)范围：由y2＝2px≥0，p0知x≥0，所以抛物线在y轴的________侧；当x的值增大时，|y|也________，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p值越大，它开口__________．焦点准线2p右增大越开阔第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1牛刀小试1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A．(14，±24)B．(18，±24)C．(14，24)D．(18，24)[答案]B第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析]设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又F(14，0)，∴x0＝18，∴y20＝18，∴y0＝±24，故选B．第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12．顶点在原点，对称轴是y轴，且通径为2的抛物线的标准方程为()A．x2＝±2yB．x2＝±yC．y2＝±xD．y2＝±2x[答案]A[解析]由题意，设标准方程为x2＝±2py(p0)，∵2p＝2，∴x2＝±2y.第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-13．顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点到焦点的距离等于6的抛物线方程是__________.[答案]y2＝24x或y2＝－24x[解析]∵顶点到焦点距离为6，即p2＝6，∴2p＝24，又∵对称轴为x轴，∴抛物线方程为y2＝24x或y2＝－24x.第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1思维导航结合直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系，考虑怎样讨论直线与抛物线的位置关系？直线与抛物线的位置关系及抛物线的焦点弦第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1新知导学2．将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线________，若Δ0，则直线与抛物线______，若Δ0，则直线与抛物线____________．特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有______个公共点．3．在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程_______的问题．相切相交没有公共点一根第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)焦半径|AF||AF|＝______|AF|＝______|AF|＝______|AF|＝_____4．焦半径抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为5.p表示焦点到准线的距离，p0.p值越大，抛物线的开口越________；p值越小，抛物线的开口越________．x0＋p2p2－x0y0＋p2p2－y0宽窄第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-16．焦点弦问题如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l.(1)以AB为直径的圆必与准线l______；(2)|AB|＝___________________；(3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝__________，y1·y2＝__________.相切2(x0＋p2)＝x1＋x2＋pp24－p2第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1牛刀小试4．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为()A．8B．16C．32D．61[答案]B[解析]由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2.代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0.∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-15．若AB为抛物线y2＝4x的弦，且A(x1,4)，B(x2,2)，则|AB|＝()A．13B．13C．6D．4[答案]B[解析]代入点A，B可得x1＝4，x2＝1，由两点间距离公式得|AB|＝13.第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1典例探究学案第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1待定系数法求抛物线的标准方程已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(3，－23)，求它的方程．[解析]∵抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(3，－23)，∴可设它的标准方程为x2＝－2py(p0)．第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1又∵点M在抛物线上．∴(3)2＝－2p(－23)，即p＝34.因此所求方程是x2＝－32y.[方法规律总结]由抛物线的几何性质求抛物线的标准方程时，应先确定其形式，再由条件确定待定系数．第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，准线过椭圆x216＋y252＝1的焦点，求抛物线的方程．[分析]由椭圆方程可求椭圆的焦点坐标，又抛物线的准线过椭圆焦点，可求参数p.第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析]椭圆x216＋y252＝1的焦点在y轴上，焦点坐标为(0，－6)，(0,6)．故抛物线的准线方程为y＝－6或y＝6.当准线方程为y＝－6时，设抛物线方程为x2＝2py(p0)，则p＝12，所求抛物线的方程为x2＝24y；当准线方程为y＝6时，设抛物线方程为x2＝－2py(p0)，则p＝12，所求抛物线的方程为x2＝－24y.故所求抛物线的方程为x2＝24y或x2＝－24y.第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1求过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的弦长的最小值．抛物线的焦点弦问题[解析]解法一：如图，设抛物线y2＝2px(p0)的焦点弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，并设焦点弦所在直线方程为x＝my＋p2①，于是有x1＝my1＋p2，x2＝my2＋p2，将①代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2.因为(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝4p2(m2＋1)．所以|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝m2y1－y22＋y1－y22＝2p(m2＋1)．所以|AB|≥2p，故当m＝0，即过焦点的弦垂直于x轴时，它的长度最小，其最小值为2p.第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1解法二：如图所示，设焦点弦AB的中点为E，分别过A、E、B作准线l的垂线，垂足为D、H、C，由抛物线定义知|AD|＝|AF|，|BC|＝|BF|，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AD|＋|BC|＝2|EH|.由图可知|HE|≥|GF|，当且仅当AB与x轴垂直时，|HE|＝|GF|，即|AB|min＝2|GF|＝2p.[方法规律总结]解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，求|AB|的值．[解析]由抛物线y2＝8x知，p＝4.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线定义知：|AF|＝x2＋p2，|BF|＝x2＋p2，第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p，∴x1＋x2＝|AB|－p.由条件知x1＋x22＝3，则x1＋x2＝6，∴|AB|－p＝6，又∵p＝4，∴|AB|＝10.第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线焦点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．最值问题第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析](1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连AF交抛物线于P点，故最小值为22＋12，即5.第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(2)如图把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±12，因为122，所以B在抛物线内部，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1.此时，由抛物线定义知：|P1Q|＝|P1F|.那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.即最小值为4.第二章2.32.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[方法规律总结]与抛物线有关的最值问题，一是涉及到焦点或准线的距离，可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离)，构造出“两点