2015-2016学年高中数学人教A版选修1-2课件第2章推理与证明222反证法

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修1-11-2第二章推理与证明成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2推理与证明第二章第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-22.2直接证明与间接证明第二章2.2.2反证法第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2典例探究学案2课时作业3自主预习学案1第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2自主预习学案第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-21.了解反证法是间接证明的一种基本方法；了解反证法的思考过程、特点．2．感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．难点：应用反证法解决问题．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2思维导航我们在立体几何证题中曾经使用过反证法，那么反证法的定义，反证法的原理，用反证法证题的注意事项是怎样的呢？反证法第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2新知导学1．反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出__________，因此说明假设__________，从而证明了原命题__________，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．矛盾错误成立第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-22．反证法证题的原理(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．3．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与__________矛盾，或与________矛盾，或与__________________、事实矛盾等．已知条件假设定义、公理、定理第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-24．反证法的适用对象作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：(1)直接证明需分多种情况的；(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；(3)关于唯一性、存在性的命题；(4)________以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，________的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．结论结论第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2牛刀小试1．用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[答案]A[解析]至少有一个实根的否定为：没有实根．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-22．设a、b、c都是正数，则三个数a＋1b、b＋1c、c＋1a()A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2[答案]C[解析]假设都小于2，则(a＋1b)＋(b＋1c)＋(c＋1a)＜6，而a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥2＋2＋2＝6.矛盾第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-23．应用反证法推理过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③[答案]C第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-24.如图所示，在△ABC中，ABAC，AD为BC边上的高，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．[解析]假设点M在线段CD上，则BDBM＝CMCD，且AB2＝BD2＋AD2，AC2＝AD2＋CD2，所以AB2＝BD2＋AD2BM2＋AD2CD2＋AD2＝AC2，即AB2AC2，所以ABAC．这与ABAC矛盾，故假设错误．所以点M不在线段CD上．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2典例探究学案第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2求证：若两条平行直线a、b中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交．[分析]直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确．用反证法证明直接证明不易入手的问题第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2[解析]不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题设矛盾．(2)b∥平面α.则平面α内有直线b′，使b∥b′.而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与题设矛盾．综上所述，b与平面α只能相交．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2[方法规律总结]用反证法证明数学命题的步骤第一步：审题，分清命题的条件和结论；第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设；第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.[解析]假设p＋q2，那么p2－q，所以p3(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋60，即6(q－1)20.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2.[点评]本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p、q的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法，但很难证，故考虑采用反证法．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2求证：1＋xy，1＋yx中至少有一个小于2.已知x，y0，且x＋y2.[分析]明确“至少”的含义→对结论作出假设→得出矛盾．用反证法证明“至多”、“至少”类命题第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2[解析]假设1＋xy，1＋yx都不小于2，即1＋xy≥2，1＋yx≥2，∵x0，y0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)．即x＋y≤2，这与已知x＋y2矛盾．∴1＋xy，1＋yx中至少有一个小于2.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2[方法规律总结]1.当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n－1个p或q¬p且¬q至多有n个至少有n＋1个p且q¬p或¬q第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2设a、b、c都是小于1的正数，求证(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a三个数不可能同时大于14.[解析]假设三个数都大于14，即(1－a)b＞14，(1－b)c＞14，(1－c)a＞14，三个数相乘，得(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a＞164.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2又因为(1－a)·a＜(1－a＋a2)2＝14，(1－b)·b＜14，(1－c)·c＜14，所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c＜164.这与假设矛盾，因此假设不成立．所以(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a不可能同时大于14.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2求证：方程2x＝3有且只有一个根．[分析]本题中“有且只有”含有两层含义：一层为“有”即存在；另一层为“只有”即唯一性，证明唯一性常用反证法．[解析]显然x＝log23是方程的一根，假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)．则2b1＝3,2b2＝3.两式相除，得2b1－b2＝1.用反证法证明存在性、唯一性命题第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2∵b1≠b2，∴b1－b2≠0.如果b1－b20，则2b1－b21，这与2b1－b2＝1相矛盾．如果b1－b20，则2b1－b21，这与2b1－b2＝1相矛盾．所以假设不成立．从而2x＝3的根是唯一的．故2x＝3有且只有一个根．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2[方法规律总结]1.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明．2．若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2已知直线m与直线a和b分别交于A、B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．[解析]∵a∥b，∴过a、b有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α，第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2又A∈m，B∈m，∴m⊂α.即过a、b、m有一个平面α假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α.则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a、b、m有且只有一个平面．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a1)．用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．[分析]本题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法、证题的关键是应注意分类讨论后，再找矛盾．用反证法证明否(肯)定式命题[解析]假设x0为方程f(x)＝0的负根，则有ax0＋x0－2x0＋1＝0，即ax0＝2－x0x0＋1＝3－1＋x0x0＋1＝－1＋3x0＋1，显然x0≠－1.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-21°当0x0－1时，1x0＋10，31＋x03，－1＋31＋x02.而1aax01，这是不可能的，即不存在0x0－1的解．2°当x0－1时，x0＋10，31＋x00，－1＋31＋x0－1.而ax00，矛盾，即不存在x0－1的解．综上所述方程f(x)＝0没有负数根．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2[方法规律总结]应用反证法的注意事项1．用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步骤，其次注意反证法是在条件较少、不易入手时常用的方法．2．注意否定命题时，要准确无误．3．用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法．有时在证明命题“若p，则q”的过程中，虽然否定了结论q，但是在证明过程中没有把“¬q”当作条件使用，也推