2015中考复习备战策略_数学第13讲_反比例函数

宇轩图书第13讲反比例函数宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练一般地，函数y＝kx(或写成y＝kx－1)(k是常数，k≠0)叫做反比例函数．反比例函数的解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.考点一反比例函数的定义宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．反比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是双曲线.因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但永不与x轴、y轴相交.考点二反比例函数的图象和性质宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练2．反比例函数的图象和性质反比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象总是关于原点对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练y＝kx(k是常数，k≠0)k0k0图象宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练y＝kx(k是常数，k≠0)k0k0所在象限一、三(x，y同号)二、四(x，y异号)性质在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练温馨提示反比例函数的图象是双曲线，它既是轴对称图形，又是中心对称图形.其对称轴是直线y＝x和直线y＝－x，对称中心是原点.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．由于反比例函数的关系式中只有一个待定系数k，因此只需已知一组对应值就可以求出k.2．待定系数法求解析式的步骤(1)设出含有待定系数的函数解析式；(2)把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；(3)解方程求出待定系数，从而确定解析式．考点三反比例函数解析式的确定宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练反比例函数y＝kx(k≠0)中k的几何意义：由双曲线y＝kx(k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k|.考点四反比例函数系数k的几何意义宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|，同理可得S△OPA＝S△OPB＝12|xy|＝12|k|.温馨提示根据图象描述性质、根据性质大致画出图象及求解析式是一个难点，要逐步理解和掌握.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解决反比例函数的实际问题时，要先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，要特别注意自变量的取值范围.考点五反比例函数的应用宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点一反比例函数的性质例1(2013·衢州)若函数y＝m＋2x的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是()A．m＜－2B．m＜0C.m＞－2D．m＞0宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【点拨】∵在每一象限内，y随x的增大而增大，∴函数图象在第二、四象限内，∴m＋2＜0，即m＜－2.故选A.【答案】A宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结对于反比例函数y＝kxk是常数，k≠0中k的符号、图象所在的象限、函数的增减性这三者，知其一则知其二，即k＞0⇔图象在第一、三象限⇔在每个象限内y随x的增大而减小；k＜0⇔图象在第二、四象限⇔在每个象限内y随x的增大而增大.特别说明，y随x的变化而变化时，一定要说明两个点在同一象限内.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点二用待定系数法求反比例函数的解析式例2(2013·淮安)若反比例函数y＝kx的图象过点(5，－1)，则实数k的值是()A．－5B．－15C.15D．5宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【点拨】把点(5，－1)代入y＝kx，得－1＝k5，∴k＝－5.故选A.【答案】A宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：（1）设出解析式y＝kxk是常数，k≠0；（）把已知的一对x，y的值代入解析式，得到关于待定系数的方程；解这个方程求出待定系数；将所求得的待定系数的值代回所设的解析式中.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点三反比例函数值的大小比较例3(2013·株洲)已知点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)都在反比例函数y＝6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【点拨】解法一：求值法．把x＝1，x＝2，x＝－3分别代入y＝6x，得y1＝6，y2＝3，y3＝－2，∴y3＜y2＜y1.故选D.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解法二：图象法．作出函数y＝6x的简图，并在图象上确定点A，B，C的大体位置．观察图象，易知y3＜y2＜y1.故选D.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解法三：性质法．∵k＝6＞0，∴函数图象在第一、三象限，∵A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)，∴点A，B在第一象限，点C在第三象限，∴y3最小，又∵k＝6＞0，在每个象限内，y随x的增大而减小，1＜2，∴y1＞y2，∴y3＜y2＜y1.故选D.【答案】D宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结已知反比例函数的解析式和点的横坐标时，可以直接求出函数值进行比较；当反比例函数的解析式中含有未知系数，不能代入求函数值时，可以利用反比例函数的性质或画函数图象的方法比较大小.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点四反比例函数系数k的几何意义例4(2013·六盘水)下列图形中，阴影部分面积最大的是()宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【点拨】由k的几何意义，得SA＝2×32＝3，SB＝2×32＝3，SD＝12×1×6＝3.对于选项C，分别过点M，N向y轴、x轴作垂线，可求出SC＝3＋12×(1＋3)×(3－1)－3＝4.故选C.【答案】C宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结因为反比例函数y＝kxk是常数，k≠0中的k有正、负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号；已知矩形或三角形的面积求反比例函数的解析式或k的值时，要根据函数图象所在的象限确定k的正负.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点五反比例函数的应用例5(2013·益阳)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．下图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线y＝kx的一部分．请根据图中信息解答下列问题：宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？(2)求k的值；(3)当x＝16时，大棚内的温度约为多少摄氏度？宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【点拨】本题考查建立反比例函数模型解答实际问题．解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为从2时至12时，即10小时．(2)∵点B(12,18)在双曲线y＝kx上，∴18＝k12，∴k＝216.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练(3)当x＝16时，y＝21616＝13.5，∴当x＝16时，大棚内的温度约为13.5℃.方法总结解决实际问题的一般步骤如下：1审题：弄清问题中的常量与变量，探究出问题中的等量关系；2确定问题中的两个变量，列出它们之间的反比例函数关系式；3代入数值求解.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．已知反比例函数的图象经过点(－1,2)，则它的解析式是(B)A．y＝－12xB．y＝－2xC．y＝2xD．y＝1x宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解析：本题考查用待定系数法求反比例函数的解析式．设反比例函数的解析式为y＝kx，把(－1,2)代入，得2＝k－1，即k＝－1×2＝－2，∴它的解析式为y＝－2x.故选B.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练2．对于反比例函数y＝2x，下列说法正确的是(D)A．图象经过点(1，－2)B．图象在二、四象限C．当x0时，y随x的增大而增大D．图象关于原点成中心对称宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解析：把点(1，－2)代入解析式y＝2x，等号左、右两边不相等，所以函数图象不过这个点，故A错误；因为k0，所以函数图象在第一、三象限，故B错误；因为k＞0，所以在每个象限内，y随x的增大而减小，故C错误；反比例函数的图象总是关于原点成中心对称的，故D正确．故选D.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练3．已知点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)在反比例函数y＝－k2－1x的图象上．下列结论中正确的是(B)A．y1y2y3B．y1y3y2C．y3y1y2D．y2y3y1宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解析：∵－k2－1＜0，∴y＝－k2－1x的图象在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大．且当x＞0时，y＜0；当x＜0时，y＞0.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练∴y1＞0，y2＜0，y3＜0.又∵3＞2，∴y3＞y2.∴y1＞y3＞y2.故选B.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练4．在平面直角坐标系中，反比例函数y＝a2－a＋2x图象的两个分支分别在(A)A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限解析：a2－a＋2＝(a－12)2＋74＞0，因此该反比例函数的图象在第一、三象限．故选A.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练5．如图，点A在双曲线y＝1x上，点B在双曲线y＝3x上，且AB∥x轴，点C，D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为2.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解析：如图，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥x轴，BC⊥x轴．∵AB∥x轴，∴BE⊥y轴．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练∴四边形AEOD和BEOC都为矩形．∵点A在双曲线y＝1x上，∴S矩形AEOD＝1.∵点B在双曲线y＝3x上，∴S矩形BEOC＝3.∴四边形ABCD的面积为3－1＝2.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练6．若反比例函数y＝(m－2)xm2－10的图象分布在第一、三象限内，则m的值是3.解析：∵反比例函数y＝(m－2)xm2－10的图象分布在第一、三象限内，∴m2－10＝－1，m－2＞0.解得m＝±3，m＞2.∴m＝3.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练7．如图，已知反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(12，8)，一次函数y＝－x＋b的图象经过该反比例函数图象上的点Q(4，m)．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练(1)求上述反比例函数和一次函数的函数解析式；(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接OP，OQ，求△OPQ的面积．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解：(1)将点(12，8)代入y＝kx，得8＝k12，k＝12×8＝4.∴反比例函数的解析式为y＝4x.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训