2015中考数学全景透视复习课件第07讲一元二次方程.

第7讲一元二次方程考点一一元二次方程的定义1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程，一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数，且a≠0)．2．一元二次方程的解：使一元二次方程两边相等的未知数的值．考点二一元二次方程的解法1．直接开平方法：如果x2＝a(a≥0)，则x＝±a，即x1＝a，x2＝－a.2．配方法：如果x2＋px＋q＝0且p2－4q≥0，则x＋p22＝－q＋p22.x1＝－p2＋－q＋p22，x2＝－p2－－q＋p22.3．公式法：如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0，则x1,2＝－b±b2－4ac2a.4．因式分解法：若方程ax2＋bx＋c＝(ex＋f)(mx＋n)(a≠0)，则ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－fe，x2＝－nm.温馨提示：解一元二次方程时，要根据方程的特点灵活选择合适的方法，一般顺序为：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法.公式法和配方法可以解所有判别式大于或等于0的一元二次方程.考点三一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac，一般用符号Δ表示．(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根，即x1,2＝－b±b2－4ac2a；(2)b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－b2a；(3)b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．温馨提示：一元一次方程没有根的判别式，因此，在逆用判别式时，一定要保证二次项系数不等于零.考点四一元二次方程根与系数的关系选学1．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，分别为x1，x2，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.2．(简易形式)若关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个实数根，分别为x1，x2，则x1＋x2＝－p，x1x2＝q.温馨提示：1.首先把一元二次方程化成一般形式，再利用根与系数的关系.2.在应用根与系数的关系时，一定要保证一元二次方程有实数根.考点五一元二次方程的应用1．列一元二次方程解应用题的步骤和列一次方程(组)解应用题的步骤相同，即审、设、找、列、解、检、答七步．2．列一元二次方程解应用题常见的问题(1)增长率问题对于正的增长率问题，设a为原来的量，x为平均增长率，m为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋x)m＝b；对于负的增长率问题，则a(1－x)m＝b.(2)比赛场次问题n个队进行单循环比赛，一共比赛nn－12场．(3)面积问题求不规则图形的面积问题，通常做法是：把不规则图形转化成规则图形，找出变化前后面积之间的关系，然后列方程求解．考点一一元二次方程的解例1(2014·陕西)若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－52ax＋a2＝0的一个根，则a的值为()A．1或4B．－1或－4C．－1或4D．1或－4【点拨】把x＝－2代入x2－52ax＋a2＝0，得(－2)2－52a·(－2)＋a2＝0，解得a1＝－1，a2＝－4.故选B.【答案】B考点二一元二次方程的解法例2(2014·泰州)解方程：2x2－4x－1＝0.【点拨】本题考查一元二次方程的解法，方程没有明显的特点，使用公式法较好．解：∵a＝2，b＝－4，c＝－1，b2－4ac＝(－4)2－4×2×(－1)＝24＞0，∴x＝－b±b2－4ac2a＝4±244＝1±62，∴x1＝1＋62，x2＝1－62.考点三一元二次方程根的判别式例3(2014·遵义)关于x的一元二次方程x2－3x＋b＝0有两个不相等的实数根，则b的取值范围是___．【点拨】∵一元二次方程x2－3x＋b＝0有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＝(－3)2－4b＞0，∴b＜94.【答案】b＜94方法总结：若一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，切勿丢掉等号.考点四一元二次方程根与系数的关系(选学)例4(2014·黄冈)若α，β是一元二次方程x2＋2x－6＝0的两根，则α2＋β2＝()A．－8B．32C．16D．40【点拨】根据题意，得α＋β＝－2，αβ＝－6，∴α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－2)2－2×(－6)＝16.故选C.【答案】C方法总结：要求出关于x1和x2的某个对称式的值，先把这个对称式变形为x1＋x2和x1x2表达的式子，再把x1＋x2和x1x2的值整体代入；若给出了关于x1和x2的某个对称式的值或范围，要求出系数中的未知字母的值或范围，先把这个对称式变形为用x1＋x2和x1x2表达的式子，然后根据所给的值或取值范围，构造方程或不等式解决，若二次项系数中有字母，要注意二次项系数不为0.考点五一元二次方程的应用例5(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为2.6(1＋x)2万元．(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.【点拨】本题考查列一元二次方程解决增长率类应用题，可列出“a(1±x)2＝b”类型的方程解决问题．(1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第2年的可变成本为2.6(1＋x)，则第3年的可变成本为2.6(1＋x)2，故得出答案；(2)根据养殖成本＝固定成本＋可变成本建立方程求出解即可．解：(1)由题意，得第3年的可变成本为2.6(1＋x)2;【答案】2.6(1＋x)2(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.方法总结：列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验最后的结果，对不符合实际问题的未知数的值应舍去.1．已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是(B)A．1B．－1C．0D．无法确定解析：把x＝1代入(m－1)x2＋x＋1＝0，得(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此时m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选B.2．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为(D)A．(x＋2)2＝1B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9D．(x－2)2＝9解析：∵x2－4x＝5，∴x2－4x＋4＝5＋4，∴(x－2)2＝9.故选D.3．已知关于x的一元二次方程mx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(D)A．m＜－1B．m＞1C．m＜1且m≠0D．m＞－1且m≠0解析：∵方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＝22－4·m·(－1)＝4＋4m＞0，即m＞－1.又∵方程为一元二次方程，∴m≠0.∴m＞－1且m≠0.故选D.4．一元二次方程(2x－5)2－(x＋4)2＝0的解为x1＝13，x2＝9.解析：本题考查一元二次方程的解法，可采用因式分解法．因式分解，得[(2x－5)＋(x＋4)][(2x－5)－(x＋4)]＝0，即(3x－1)(x－9)＝0.解得x1＝13，x2＝9.5．设a，b是x2＋x－2015＝0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b＝2014.解析：∵a，b是x2＋x－2015＝0的两个不相等的实数根，∴a2＋a＝2015，a＋b＝－1，∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋a＋b＝2015－1＝2014.6．已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根分别为a，b，则1a＋1b的值是－65.解析：由根与系数的关系，得a＋b＝6，ab＝－5.∴1a＋1b＝a＋bab＝6－5＝－65.7．某商品原价289元，经过连续两次降价后，售价为256元．设平均每次降价的百分率为x，则x的值为117.解析：根据题意，得289(1－x)2＝256，解得x1＝117，x2＝3317(舍去)．8．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)设p是方程的一个实数根，且满足(p2－2p＋3)·(m＋4)＝7，求m的值．解：(1)∵方程有两个实数根，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(m－1)≥0，即m≤2.(2)∵p是方程的一个实数根，∴把x＝p代入方程，得p2－2p＋m－1＝0.∴p2－2p＝1－m.把p2－2p＝1－m代入(p2－2p＋3)(m＋4)＝7，得(4－m)(4＋m)＝7，即16－m2＝7.解得m＝±3.又∵m≤2，∴m＝－3.考点训练一、选择题(每小题3分，共27分)1．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为(D)A．(x＋1)2＝0B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2D．(x－1)2＝22．(2014·云南)一元二次方程x2－x－2＝0的解是(D)A．x1＝1，x2＝2B．x1＝1，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝－2D．x1＝－1，x2＝2解析：移项，得x2－x＝2.配方，得x2－x＋14＝2＋14，即x－122＝94.开方，得x－12＝±32.解得x1＝－1，x2＝2.故选D.3．(2013·福州)下列一元二次方程有两个相等实数根的是(C)A．x2＋3＝0B．x2＋2x＝0C．(x＋1)2＝0D．(x＋3)(x－1)＝04．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为(C)A．2B．3C．4D．8解析：设另一根为x1，由根与系数的关系，得2＋x1＝6，x1＝4.故选C.5．(2014·宜宾)若关于x的一元二次方程的两根为x1＝1，x2＝2，则这个方程是(B)A．x2＋3x－2＝0B．x2－3x＋2＝0C．x2－2x＋3＝0D．x2＋3x＋2＝0解析：∵x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3，x1x2＝2，∴这个方程是x2－3x＋2＝0.故选B.6．(2014·菏泽)已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为(A)A．1B．－1C．0D．－2解析：把x＝－b代入x2＋ax＋b＝0，得(－b)2＋a·(－b)＋b＝0，b2－ab＋b＝0，即b(b－a＋1)＝0.∵－b≠0，∴b－a＋1＝0，即a－b＝1.故选A.7．对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为(C)A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定解析：∵b2－4ac＝4(k＋1)2－4×1×(－k2＋2k－1)＝8k2＋8＞0，∴这个方程有两个不相等的实数根．故选C.8．(2013·日照)已知一元二次方程x2－x－3＝0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是()A．－2＜x1＜－1B．－3＜x1＜－2C．2＜x1＜3D．－1＜x1＜0解析：在x2－x－3＝0中，b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－3)＝13＞0，∴x＝1±132×1＝1±132，∴较小根x1＝1－132.∵3＜13＜4，∴－32＜1－132＜－1.故选A.答案：A9．(2014·泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出方程是()A．(3＋x)(4－0.5x)＝15B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15D．(x＋1)(4－0.5x)＝15解析：每盆多植x株，则现在有(3＋x)株；原来平均每株盈利4元，则现在平均每株盈利(4－0.5x)元，由每盆的盈利达到15元，可列方程为(3＋x)(4－0.5x)＝15.故选A.答案：A二、填空题(每小题4分，共24分)10．(2014·白银)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，则a＝1.解析：把x＝0代入方程，可得a2－1＝0，解得a＝±1.又∵a＋1≠0，即a≠－1，∴a＝1.11．(2014·岳阳)方程x2－3x＋2＝0的根是x1＝2，x2＝1.解析：a