2011年高考数学文科模拟试卷(五)

2011年高考数学文科模拟试卷（五）本试卷分第Ⅰ卷(选择题共60分)和第Ⅱ卷(非选择题共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷(选择题共60分)参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=Cknpk(1－p)n－k正棱锥、圆锥的侧面积公式S锥侧=21cl，其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长球的表面积公式S=4πR2，其中R表示球的半径球的体积公式V=34πR3，其中R表示球的半径一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设M和m分别表示函数y＝2sinx－1的最大值和最小值，则M＋m等于A.1B.2C.－2D.－12.设集合M={x|x2－x＜0，x∈R}，N={x||x|＜2，x∈R}，则A.NMB.M∩N=MC.M∪N=MD.M∪N=R3.函数y＝log2(1－x)的图象是4.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为A.41B.21C.2D.45.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若3184SS，则168SS等于A.103B.31C.91D.816.曲线y=2x4上的点到直线y=－x－1的距离的最小值为A.2B.22C.32D.21657.正三棱锥侧棱长与底面边长的比值的取值范围是A.［63，+∞)B.［33，+∞)C.(63，+∞)D.(33，+∞)8.双曲线116222byx的一条准线恰好与圆x2+y2+2x=0相切，则双曲线的离心率为A.5B.2C.3D.29.现从某校5名学生中选出4人分别参加高中“数学”“物理”“化学”竞赛，要求每科至少有1人参加，且每人只参加1科竞赛，则不同的参赛方案的种数是A.180B.360C.720D.12010.某邮局只有0.90元、0.80元、1.10元三种面值的邮票，现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且邮资恰好为7.50元，则最少要购买邮票A.7张B.8张C.9张D.10张11.定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋1)＝－f(x)，且在［－3，－2］上是增函数，α、β是锐角三角形的两个锐角，则A.f(sinα)＞f(cosβ)B.f(sinα)＜f(cosβ)C.f(sinα)＞f(sinβ)D.f(cosα)＞f(cosβ)12.对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y02＜4x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部.若点M(x0，y0)在抛物线内部，则直线l：y0y=2(x+x0)与曲线CA.恰有一个公共点B.恰有2个公共点C.可能有一个公共点，也可能有两个公共点D.没有公共点第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13.已知│a│＝3，│b│＝5，且a·b＝12，则a在b的方向上的投影为___________.14.某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个样本容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n=___________.15.在(1－x)(1＋x)10的展开式中，x3的系数为___________.(用数字作答)16.设函数f(x)=lg(x2+ax－a－1)，给出下列命题：①f(x)有最小值；②当a=0时，f(x)值域为R；③当a＞0时，f(x)在［2，+∞)上有反函数；④若f(x)在区间［2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是a≥－4.其中正确命题的序号为___________.三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)甲、乙两人进行围棋赛，每盘比赛均有胜负，若其中一人胜4盘，则比赛结束.假设甲、乙两人获胜的概率都是21，求甲4∶2胜的概率.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3+x2+1，x∈(0，1］.(1)若f(x)在(0，1］上是增函数，求实数a的取值范围；(2)求f(x)在(0，1］上的最大值.19.(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，点M在边BC上，△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形.(1)求证：点M为边BC的中点；(2)求点C到平面AMC1的距离；(3)求二面角M—AC1—C的大小.20.(本小题满分12分)一条斜率为1的直线l与离心率为3的双曲线2222byax=1(a＞0，b＞0)交于P、Q两点，直线l与y轴交于R点，且OP·OQ=－3，PR=3RQ，求直线和双曲线的方程.21.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝Sn·Sn－1(n≥2，Sn≠0)，a1=92.(1)求证：{nS1}为等差数列；(2)求满足anan－1的自然数n的集合.22.(本小题满分14分)定义在R上的函数f(x)满足：如果对任意x1，x2∈R，都有f(221xx)≤21［f(x1)+f(x2)］，则称函数f(x)是R上的凹函数.已知函数f(x)＝ax2+x(a∈R且a≠0)，(1)求证：当a＞0时，函数f(x)是凹函数；(2)如果x∈［0，1］时，│f(x)│≤1，求实数a的范围.参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1.解析：M＝2－1＝1，m＝－2－1＝－3，∴M＋m＝1－3＝－2.答案：C2.解析：M=(0，1)，N=(－2，2)，M∩N＝(0，1)M.答案：B3.解析：由定义域知x＜1，故排除A、B，由函数单调减，故选C.答案：C4.解析：椭圆方程为x2+my12=1，由题意得m1＝2×1，∴m＝41.答案：A5.解析：设S4＝m，则S8＝3m，∴S8－S4＝2m，由等差数列性质知，S12－S8=3m，S16－S12＝4m，∴S16=10m，∴103168SS.答案：A6.解析：设直线L平行于直线y＝－x－1，且与曲线y＝2x4相切于点P(x0，y0)，则所求最小值d，即点P到直线y=－x－1的距离，y′=8x3=－1.∴x0=－21，y0=81，∴d=2|1|00yx=21652|1821|.答案：D7.解析：设点O是正三棱锥S—ABC底面中心，当SO→0时，ABSA→33，当SC→＋∞时，ABSA→＋∞，故选D.答案：D8.解析：由题意知a＝4，ca2=2，∴c＝8，∴e＝ac＝2.答案：B9.解析：C45C24A33=180.答案：A10.解析：6张1.10元和1张0.90元，共7张.答案：A11.解析：∵f(x+1)=－f(x)，∴f(x+2)=f［(x+1)+1］=－f(x+1)＝f(x).∴f(x)周期为2.∵f(x)在［－3，－2］上单调增，∴f(x)在［1，2］上也单调增.又∵f(x)是偶函数，∴f(x)在［－2，－1］上单调减，∴f(x)在［0，1］也是单调减.又∵α、β是锐角三角形的两个锐角，∴α＋β＞2，α＞2－β，且2－β也是锐角，∴sinα＞sin(2－β)，又∵sinα、cosβ∈(0，1)，∴f(sinα)＜f(cosβ).答案：B12.解析：由l与C联立方程消x得y2－2y0y+4x0=0(※)，Δ＝4y02－16x0＝4(y02－4x0)＜0.∴方程(※)无实根，∴l与C无公共点.答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)13.51214.20015.7516.②三、解答题(17、18、19、20、21题12分，22题14分，共74分)17.解：甲4∶2胜必定前5盘甲胜3盘，且第6盘甲胜，故概率为C35(21)3(1－21)2·21=325.12分18.解：(1)f′(x)=3ax2+2x，∵f(x)在(0，1］上是增函数，∴x∈(0，1］时，f′(x)=3ax2+2x＞0恒成立，即a＞－x32对x∈(0，1]恒成立.∵－x32在(0，1]上单调增，∴x＝1时，－x32取最大值－32，∴a＞－32即为所求.6分(2)①当a＞－32时，f(x)在(0，1］上单调增，∴f(x)max=f(1)=a+2.②当a≤－32时，令f′(x)=3ax2+2x=0，由x≠0，得x＝－a32.当0＜x＜－a32时，f′(x)＞0;当－a32＜x＜1时，f′(x)＜0，∴x＝－a32时，f(x)取得极大值2274a＋1.又f(1)＝a+2≤2274a＋1.10分∴f(x)在(0，1]上的最大值为2274a+1.12分19.(1)证明：∵△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴AM⊥C1M，且AM＝C1M，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1⊥底面ABC.∴C1M在底面内的射影为CM，AM⊥CM.∵底面ABC为边长为a的正三角形，∴点M为BC边的中点.4分(2)解：过点C作CH⊥MC1于H.由(1)知AM⊥C1M且AM⊥CM，∴AM⊥平面C1CM.∵CH在平面C1CM内，∴CH⊥AM，∴CH⊥平面C1AM.由(1)知，AM＝C1M＝23a，CM＝21a且CC1⊥BC.∴CC1＝aaa22414322.∴CH＝aaaaMCCMCC6623212211.∴点C到平面AMC1的距离为a66.8分(3)解：过点C作CI⊥AC1于I，连HI，∵CH⊥平面C1AM，∴HI为CI在平面C1AM内的射影，∴HI⊥AC1，∠CIH是二面角M—AC1—C的平面角.在直角三角形ACC1中，CI=aaaaaACACCC33)22(222211，sinCIH=223366aaCICH，∴∠CIH=45°，∴二面角M—AC1—C的大小为45°.12分20.解：∵e=3，∴b2=2a2，∴双曲线方程可化为2x2－y2=2a2.设直线方程为y＝x＋m，由22222ayxmxy，得x2－2mx－m2－2a2＝0.2分∵Δ＝4m2+4(m2+2a2)＞0，∴直线一定与双曲线相交.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，x1x2＝－m2－2a2.∵PR=3RQ，∴xR=4321xx=0，∴x1=－3x2.6分∴x2＝－m，－3x22=－m2－2a2，消去x2得m2=a2.OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=m2－4a2＝－3.∴m＝±1，a2＝1，b2=2，直线方程为y＝x±1，双曲线方程为x2－22y=1.12分21.(1)证明：n≥2时，an=SnSn－1，即Sn－Sn－1＝SnSn－1，∴111nnSS=－1.∴{nS1}是公差为－1的等差数列.6分(2)解：nS1=11S＋(n－1)·(－1)=－n+211，∴Sn=n2112.a1=S1=92，a2=S2－S1=634.∴a2＜a1.8分n≥3时，令an－an－1＝Sn－Sn－1－Sn－1＋Sn－2=)215)(213)(211(16nnn＞0，解得n＜211或213＜n＜215，∴满足an＞an－1的自然数n的集合为{3，4，5，7}.12分22.(1)证明：对任意x1、x2∈R，∵a＞0，∴f(x1)+f(x2)－2f(221xx)=ax12+x1+ax22+x2－2［a(221xx)2+221xx］=21a(x1－x2)2≥0.∴f(221xx)≤21［f(x1)+f(x2)］，∴f(x)是凹函数.6分(2)解：由│f(x)│≤1－1≤f(x)≤1－1≤ax2＋x≤1.(*)当x＝0时，a∈R;7分当x∈(0，1)时，由(*)得41)211(1141)211(112222xxxaxxxa恒成立.10分当x∈(0，1]时，x1≥1.当x1=1时，－(x1+21)2+41取最大值－2;同时(x1－21)2－41取最小值0，∴－2≤a≤0.∵a≠0，∴－2≤a＜0.14分