16_1平面点集与多元函数.

返回后页前页第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数§2二元函数的极限§3二元函数的连续性返回后页前页§1平面点集与多元函数多元函数是一元函数的推广,它保留着一元函数的许多性质,同时又因自变量的增多而产生了许多新的性质,读者对这些新性质尤其要加以注意.下面着重讨论二元函数,由二元函数可以方便地推广到一般的多元函数中去.一、平面点集二、R2上的完备性定理三、二元函数四、n元函数返回后页前页一、平面点集※平面点集的一些基本概念由于二元函数的定坐标平面上满足某种条件P的点的集合,称为平(,)(,).ExyxyP满足条件对与平面上所有点之间建立起了一一对应.(,)xy在平面上确立了直角坐标系之后,所有有序实数义域是坐标平面上的点集,因此在讨论二元函数之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念.面点集,记作返回后页前页例如：(i)全平面:2R(,)|,.(1)xyxy222(ii)(,).Cxyxyr圆:(2)(iii)(,),,Sxyaxbcyd矩形:(3)00(iv)(,):Axy点的邻域00(,)||,||()xyxxyy与方形.[,][,].Sabcd也常记作：22200(,)()()()xyxxyy圆形返回后页前页图16–1CSxxyyOOabcdr(a)圆C(b)矩形SAA图16–2xxyyOO(a)圆邻域(b)方邻域返回后页前页由于点A的任意圆邻域可以包含在点A的某一方邻域之内(反之亦然),因此通常用“点A的邻用记号或来表示.(;)UA()UA点A的空心邻域是指:22200(,)0()()()xyxxyy圆0000(,)||,||,(,)(,)(),xyxxyyxyxy方或并用记号(;()())UAUA或来表示.域”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域,并返回后页前页00(,)0||,0||.xyxxyy注意:不要把上面的空心方邻域错写成:(请指出※点和点集之间的关系以下三种关系之一:2RA2RE任意一点与任意一个点集之间必有E的内点;由E的全体内点所构成的集合称为E(i)内点—若0,(;),UAE使则称点A是的内部,记作intE.错在何处?)返回后页前页(ii)外点—若0,(;),UAE使则称点A是E的外点;由E的全体外点所构成的集合称c(;)(;)UAEUAE且0,(iii)界点—若恒有c2R\EE(其中),则称点A是E的界点．由E.E的全体界点所构成的集合称为E的边界,记作注E的内点必定属于E;E的外点必定不属于E;E的界点可能属于E,也可能不属于E.并请注意:为E的外部.返回后页前页EE2R\cEE只有当时,E的外部与才是两个相同的集合.22(,)14.(4)Dxyxy图16–3xyO12例1设平面点集（见图16–3）于D;满足的一切点也224xy221xy是D的内点;满足的一切点是D的界点,它们都属2214xy满足的一切点都是D的界点,但它们都不属于D.返回后页前页点A与点集E的上述关系是按“内-外”来区分的.此外，还可按“疏-密”来区分，即在点A的近旁是否密集着E中无穷多个点而构成另一类关系:(i)聚点—若在点A的任何空心邻域()UA内都含有E中的点，则称点A是点集E的聚点．注1聚点本身可能属于E，也可能不属于E.注2聚点的上述定义等同于:“在点A的任何邻域()UA内都含有E中的无穷多个点”.注3E的全体聚点所构成的集合称为E的导集,记返回后页前页d();EE或dEE作又称为E的闭包,记作.E例如,对于例1中的点集D,它的导集与闭包同为d22(,)14.DxyxyD其中满足224xy的那些聚点不属于D,而其余所有聚点都属于D.(ii)孤立点—若点AE,但不是E的聚点（即存在某δ0,使得(;)),UAE则称点A是E的孤立点.注孤立点必为界点;内点和不是孤立点的界点必返回后页前页为聚点;既非聚点,又非孤立点,则必为外点.例2设点集(,),.Epqpq为任意整数显然,E中所有点(p,q)全为E的孤立点;并有d,int,.EEEE※一些重要的平面点集根据点集所属的点所具有的特殊性质,可来定义一些重要的点集.开集—若点集E所属的每一点都是E的内点(即E=intE),则称E为开集.返回后页前页闭集—若点集E的所有聚点都属于E(),EE即则称E为闭集.若点集E没有聚点d(),E即这时也称E为闭集.例如前面列举的点集中,(2)式所示的C是开集;(3)式所示的S是闭集;(4)式所示的D既非开集,又非闭集;而(1)式所示的R2既是开集又是闭集.在平面点集中,只有R2与是既开又闭的.开域—若非空开集E具有连通性,即E中任意两点之间都可用一条完全含于E的有限折线相连接,返回后页前页则称E为开域.简单地说,开域就是非空连通开集.闭域—开域连同其边界所成的集合称为闭域.区域—开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合,统称为区域.不难证明:闭域必为闭集;而闭集不一定为闭域.在前述诸例中,(2)式的C是开域,(3)式的S是闭域,(1)式的R2既是开域又是闭域,(4)式的D是区域(但既不是开域又不是闭域).又如(,)|0,(5)Gxyxy返回后页前页它是I、III两象限之并集.虽然它是开集,但因不具有连通性,所以它既不是开域,也不是区域.0,r有界点集—对于平面点集E,若使(;),EUOr其中O是坐标原点(也可以是其他固定点),则称E是有界点集,否则就是无界点集(请具体写出定义).前面(2),(3),(4)都是有界集,(1)与(5)是无界集.E为有界点集的另一等价说法是:存在矩形区域[,][,].abcdE返回后页前页此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映,所谓点集E的直径,就是1212,()sup(,),PPEdEPP其中ρ(P1,P2)是P1(x1,y1)与P2(x2,y2)之间的距离,即22121212(,)()().PPxxyy于是,当且仅当d(E)为有限值时,E为有界点集.根据距离的定义,不难证明如下三角形不等式:121323(,)(,)(,).PPPPPP返回后页前页※举例讨论上述点集的性质例3证明:对任何2R,SS恒为闭集.证如图16–4所示,设0xS为的任一聚点，欲证（即亦为S0xS的界0x点）.为此0,由聚点定义，存在0(;).yUxSSS0x0(;)Ux(;)Uyy图16–４y0(;)(;),UyUx再由为界点的定义,在返回后页前页的点.由此推知在内既有SS(;)Uy的点,又有非S0x0xS的任意性,为的界点,即,这就证得S为闭集．注类似地可以证明:对任何点集2dR,SS导集亦恒为闭集.(留作习题)2c2R,R\.EEE例4设试证E为闭集的充要条件是：c,int().cEEEEE或SS0(;)Ux内既有的点,又有非的点.所以,由返回后页前页③dccint()EEEEEEEE①②图16–5证下面按循环流程图16–5来分别作出证明.dEEE①已知为闭集(即),欲证E.EEE,,pEpEE为此或是的聚点或是的孤立点.dd,pEEEpE若，则由得；而孤立点必属.EEEEEE于；从而，故反之显然有返回后页前页.EEE综合起来,便证得int.EEEEEE，cint().cEE②已知欲证为此c,,,pEpEEEpE则而由故必为的外点,,0,(;).UpE按定义使从而cccc(;),,int().UpEpEEE故是的内点即ccccint().int().EEEE有这就证得反之显然③ccdint(),.EEEEEp已知欲证为此c(,,pEpE据条件可证若不然从而由d,Eccint(),0,(;),pEUpE条件推知故使返回后页前页d),.pEEE与为的聚点相矛盾故这就证得注此例指出了如下两个重要结论:(i)闭集也可用“EEE”来定义(只是使用起来一般不如“dEEE”方便,因为有关聚点有许多便于应用的性质)．d.EEE(ii)闭集与开集具有对偶性质—闭集的余集为开集;开集的余集为闭集.利用此性质,有时可以通过讨论来认识E.cE返回后页前页例5以下两种说法在一般情形下为什么是错的?(i)既然说开域是“非空连通开集”，那么闭域就是“非空连通闭集”；D(ii)要判别一个点集是否是闭域,只要看其去除边界后所得的是否为一开域,即\DDD“若为开域,则必为闭域”.答(i)例如取(,)|0,Sxyxy这是一个非空连通闭集.但因它是前面(5)式所示的集合G与其边SGG界(二坐标轴)的并集(即),而G不是返回后页前页开域,故S不是闭域(不符合闭域的定义).DEF(a)(b)(c)图16–6(ii)如图16–6所示,(a)中的点集为D;(b)中的点\;EDD.FEE集为(c)中的点集为易见E为一开域,据定义F则为闭域；然而返回后页前页,DEEF显然不符合它为闭域的定义.(\).DDD与不一定相同由此又可见到:二、R2上的完备性定理※平面点列的收敛性定义及柯西准则反映实数系完备性的几个等价定理,构成了一元函数极限理论的基础.现在把这些定理推广到R2,它们同样是二元函数极限理论的基础.返回后页前页2{}RnP20RP定义1设为一列点,为一固定点.00,N,,(;),nNnNPUP若使当时则称点列{Pn}收敛于点P0,记作00lim().nnnPPPPn或000(,)(,),nnnPPxyxy当与分别为与时显然有000limlimlim;nnnnnnPPxxyy且0(,),nnPP若记同样地有0limlim0.nnnnPP返回后页前页由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限,因此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.定理16.1(柯西准则)2{}RnP收敛的充要条件是:0,N,,NnN使当时都有(,),N.(6)nnpPPp证（必要性）0lim,1,0,nnPP设则由定义N,()NnNnpN当也有时,恒有00(,),(,).22nnpPPPP返回后页前页应用三角形不等式,立刻得到00(,)(,)(,).nnpnnpPPPPPP(充分性)当(6)式成立时,同时有||(,),npnnnpxxPP||(,).npnnnpyyPP这说明{xn}和{yn}都满足关于数列的柯西准则,所以它们都收敛.00lim,lim,nnnnxxyy设从而由点列收敛概念,推知{Pn}收敛于点P0(x0,y0).返回后页前页0{6},nPEPE为的聚点存在各项互异的例0lim.nnPP使得(这是一个重要命题,证明留作习题.)※下述区域套定理,是区间套定理在R2上的推广.定理16.2(闭域套定理)设{Dn}是R2中的一列闭域,它满足：1(i),1,2,;nnDDn(ii)(),lim0.nnnnddDd返回后页前页图16–7nDnpDnPnpP0P则存在唯一的点0,1,2,.nPDn证任取点列,1,2,.nnPDn,npnDD由于因此,,nnpnPPD从而有(参见图16–7)(,)0,.nnpnPPdn由柯西准则知道存在20R,P使得返回后页前页任意取定n,对任何正整数p,有.npnpnPDD再令,p由于Dn是闭域,故必定是闭集,因此0P作为Dn的聚点必定属于Dn,即0lim,1,2