2011走向高考,贾凤山,高中总复习,第3篇2-2

第三篇第2章第二讲一、选择题1．已知定点A、B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是()A.12B.32C.72D．5[答案]C[解析]由|PA|－|PB|＝34＝|AB|，知点P在以A、B为焦点的双曲线上，|PA|min＝c＋a＝32＋2＝72.2．(文)设F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为()A.52B.102C.152D.5[答案]B[解析]设双曲线x2a2－y2b2＝1的半焦距为c.依题意，有|AF1|2＋|AF2|2＝4c2|AF1|－|AF2|＝2a|AF1|＝3|AF2|，解得e＝ca＝102.(理)已知F1、F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为()A．4＋23B.3－1C.3＋12D.3＋1[答案]D[解析]设线段MF1的中点为P，由已知△F1PF2为有一锐角为60°的直角三角形，∴|PF1|、|PF2|的长度分别为c和3c.由双曲线的定义知：(3－1)c＝2a，∴e＝23－1＝3＋1.3．(文)椭圆x29＋y2k2＝1与双曲线x2k－y23＝1有相同的焦点，则k应满足的条件是()A．k3B．2k3C．k＝2D．0k2[答案]C[解析]k0，c＝9－k2＝k＋3，∴k＝2.(理)已知椭圆x23m2＋y25n2＝1和双曲线x22m2－y23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为()A．x＝±152yB．y＝±152xC．x＝±34yD．y＝±34x[答案]D[解析]由题意c2＝3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，∴双曲线渐近线的斜率k＝±3|n|2|m|＝±34.方程为y＝±34x.4．(09·江西)设F1和F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为()A.32B．2C.52D．3[答案]B[解析]如图，|PO||F1O|＝tan60°⇒2bc＝3⇒4b2＝3c2⇒4(c2－a2)＝3c2⇒c2＝4a2⇒c2a2＝4⇒e＝2，选B.5．(文)(08·重庆)若双曲线x23－16y2p2＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为()A．2B．3C．4D．42[答案]C[解析]双曲线的标准方程为x23－y2p216＝1，故c2＝3＋p216，即c＝3＋p216，由于抛物线的准线方程为x＝－p2，它与x轴的交点的横坐标为－p2，而双曲线的左焦点在抛物线的准线上，因此3＋p216＝p2，p0，解得p＝4，故选C.(理)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(ab0)的一条通径(过焦点垂直于焦点所在对称轴的弦)与抛物线y2＝2px(p0)的通径重合，则双曲线的离心率为()A.2＋1B．22－1C.3＋1D．23－1[答案]A[解析]如图，F为焦点，AB为通径．∴Fp2，0，∴c＝p2.将x＝c代入x2a2－y2b2＝1得，y＝±b2a.将x＝c，c＝p2代入y2＝2px得，y＝p，∴p＝b2a.又a2＋b2＝c2，∴a2＋pa＝p24.∴4a2＋4pa－p2＝0.∵a0，∴a＝2－12p.∴e＝ca＝p22－12p＝2＋1.∴离心率为2＋1.6．(文)(08·山东)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.x242－y232＝1B.x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D.x2132－y2122＝1[答案]A[解析]由已知得椭圆中a＝13，c＝5，曲线C2为双曲线，由此知道在双曲线中a＝4，c＝5，故双曲线中b＝3，双曲线方程为x242－y232＝1.(理)已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有()A.1e21＋1e22＝4B．e21＋e22＝4C.1e21＋1e22＝2D．e21＋e22＝2[答案]C[解析]设椭圆长半轴长为a，双曲线实半轴长为m，则|PF1|＋|PF2|＝2a①||PF1|－|PF2||＝2m②①2＋②2得：2(|PF1|2＋|PF2|2)＝4a2＋4m2，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2代入上式得4c2＝2a2＋2m2，两边同除以2c2得2＝1e21＋1e22，故选C.7．(文)已知双曲线的两个焦点为F1(－10，0)、F2(10，0)，M是此双曲线上的一点，且满足MF1→·MF2→＝0，|MF1→|·|MF2→|＝2，则该双曲线的方程是()A.x29－y2＝1B．x2－y29＝1C.x23－y27＝1D.x27－y23＝1[答案]A[解析]设|MF1→|＝r1，|MF2→|＝r2(r1r2)，则r21＋r22＝40r1r2＝2，∴r1－r2＝6，即2a＝6，∴a＝3.又c＝10，∴b2＝1.∴双曲线方程为x29－y2＝1.(理)在如图△ABC中，tanC2＝12，AH→·BC→＝0，则过点C，以A、H为两焦点的双曲线的离心率为()A.2B.3C．2D．3[答案]C[解析]由题设条件知，AH⊥BC，tanC＝2tanC21－tan2C2＝43，∵C点在以A、H为焦点的双曲线上，设双曲线的实、虚半轴及半焦距分别为a、b、c，则有AH＝2c，CH＝b2a，∴2cb2a＝43，∴3ac＝2(c2－a2)，∴3e＝2(e2－1)，即2e2－3e－2＝0，∵e1，∴e＝2.8．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为()A.54B.52C.32D.54[答案]B[解析]因为椭圆的离心率e＝32，即ca＝32，也即a2－b2a2＝34，所以b2a2＝14，则1＋b2a2＝54，即a2＋b2a2＝54，则双曲线离心率e′＝c′a＝52，故选B.9．(文)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两焦点为F1、F2，点Q为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F1作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是()A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分[答案]D[解析]延长F1P交QF2于R，则|QF1|＝|QR|.∵|QF2|－|QF1|＝2a，∴|QF2|－|QR|＝2a＝|RF2|，又|OP|＝12|RF2|，∴|OP|＝a.(理)(08·福建)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1,3)B．(1,3]C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)[答案]B[解析]由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|＝4a，∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，∴6a≥2c，ca≤3，故离心率的范围是(1,3]，选B.10．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，当动点M在底面ABCD内运动时，总有：D1A＝D1M，则动点M在面ABCD内的轨迹是()上的一段弧．()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案]A[解析]因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时，动点的轨迹是以D1D为轴线，以D1A为母线的圆锥，与平面ABCD的交线即圆的一部分．故选A.二、填空题11．(文)双曲线C与椭圆x28＋y24＝1有相同的焦点，直线y＝3x为C的一条渐近线，则双曲线方程为______．[答案]x2－y23＝1[解析]设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.椭圆x28＋y24＝1的两焦点为(－2,0)，(2,0)．∴对于双曲线C：c＝2.又y＝3x为双曲线C的一条渐近线．∴ba＝3，解得a2＝1，b2＝3.∴双曲线C的方程为x2－y23＝1.(理)已知P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)右支上的一点，F1(－c,0)，F2(c,0)分别是其左、右焦点，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为________．[答案]a[解析]令内切圆与F1F2的切点为G，与PF1的切点为H，与PF2的切点为K，则(|PH|＋|HF1|)－(|PK|＋|KF2|)＝|F1G|－|GF2|＝2a，又|F1G|＋|GF2|＝2c，则|F1G|＝a＋c，∴切点为右顶点，易知圆心的横坐标为a.12．(文)F1、F2是双曲线x24－y245＝1的左、右焦点，P是双曲线左支上的点，已知|PF1|、|PF2|、|F1F2|依次成等差数列，且公差大于0，则∠F1PF2＝________.[答案]120°[解析]由双曲线定义可知，|PF2|－|PF1|＝4，由已知2|PF2|＝|PF1|＋|F1F2|，∴|PF2|＝10，|PF1|＝6，|F1F2|＝2c＝14，在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－12，∴∠F1PF2＝120°.(理)双曲线的右顶点为A，又B、C为双曲线右支上的两点，若△ABC为等边三角形，则双曲线离心率的取值范围是________．[答案]1，233[解析]据题意及双曲线的渐近线的几何性质知，ba≤33，∴c2－a2a2≤33，即e2－1≤33，∴1e≤233.13．(09·湖南)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A、B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．[答案]2[解析]∵∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°.在Rt△OAF中，|OA|＝a，|OF|＝c，∴e＝ca＝|OF||OA|＝1cos60°＝2.14．(文)(08·宁夏、海南)设双曲线x29－y216＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．[答案]3215[解析]如图，双曲线的渐近线方程为y＝±43x，F(5,0)，∴直线BF：y＝43(x－5)，解x29－y216＝1y＝43(x－5)得y＝－3215，又|AF|＝5－3＝2，∴S△AFB＝12×2×3215＝3215.(理)已知双曲线的中心在坐标原点，右顶点为A(1,0)，点P、Q在双曲线的右支上，点M(m,0)到直线AP的距离为1.若直线AP的斜率为k，且|k|∈33，3，则实数m的取值范围是________．[答案]－1，1－233∪233＋1，3[解析]由题意知直线AP的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，即kx－y－k＝0.∵点M(m,0)到直线AP的距离为1，∴|mk－k|k2＋1＝1，即|m－1|＝k2＋1|k|＝1＋1k2，∵|k|∈33，3，∴233≤|m－1|≤2，解得233＋1≤m≤3或－1≤m≤1－233.∴m的取值范围为－1，1－233∪233＋1，3.三、解答题15．设双曲线y2a2－x23＝1的焦点分别为F1、F2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；(2)设A、B分别为l1、l2上的动点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB中点M的轨迹方程，并说明是什么曲线.[解析](1)∵a2＋3|a|＝2，∴a2＝1，∴双曲线方程为y2－x23＝1，∴渐近线方程为：3y－x＝0和3y＋x＝0.(2)∵|F1F2|＝4,2|AB|＝5|F1F2|，∴|AB|＝10，设A在l1上，B在l2上，则设A(3y1，y1)，B(－3y2，y2)，∴3(y1＋y2)2＋(y1－y2)2＝10①，设AB中点(x，y)，则x＝3y1－3y22，y＝y1＋y22，∴y1－y2＝2x3，y1＋y2＝2y，代入①得12y2＋43x2＝100，即