2011量子力学期末考试题目

第一章⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。⒎普朗克量子假说：表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=hν。表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。⒐光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E=hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程⒒光电效应机理：当光射到金属表面上时，能量为E=hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。⒓解释光电效应的两个典型特点：①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν-W0≤0时，即ν≤ν0=W0/h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。⒕康普顿效应的实验规律：①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ'λ；②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。nkhknhPhE2,2⒚光谱线：光经过一系列光学透镜及棱镜后，会在底片上留下若干条线，每个线条就是一条光谱线。所有光谱线的总和称为光谱。⒛线状光谱：原子光谱是由一条条断续的光谱线构成的。21.标识线状光谱：对于确定的原子，在各种激发条件下得到的光谱总是完全一样的，也就是说，可以表征原子特征的线状光谱。22.戴维逊-革末实验证明了什么？第二章⒈量子力学中，原子的轨道半径的含义。⒉波函数的物理意义：某时刻t在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子的波是几率波。⒊波函数的特性：波函数乘上一个常数后，并不改变在空间各点找到粒子的几率，即不改变波函数所描写的状态。⒋波函数的归一化条件)7-1.2(1),,,(2dtzyx⒌态叠加原理：若体系具有一系列不同的可能状态Ψ1，Ψ2，…Ψn，则这些可能状态的任意线性组合，也一定是该体系的一个可能的状态。也可以说，当体系处于态Ψ时，体系部分地处于态Ψ1，Ψ2，…Ψn中。⒍波函数的标准条件：单值性，有限性和连续性，波函数归一化。⒎定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定态波函数：描述定态的波函数称为定态波函数。。⒐定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。⑵粒子几率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变。⒑本征方程、本征值和本征波函数：在量子力学中，若一个算符作用在一个波函数上，等于一个常数乘以该波函数，则称此方程为该算符的本征方程。常数fn为该算符的第n个本征值。波函数ψn为fn相应的本征波函数。⒒束缚态：在无穷远处为零的波函数所描述的状态。基态：体系能量最低的态。⒓宇称：在一维问题中，凡波函数ψ(x)为x的偶函数的态称为偶(正)宇称态；凡波函数ψ(x)为x的奇函数的态称为奇(负)宇称态。⒔在一维空间内运动的粒子的势能为(μω2x2)/2，ω是常数，这种粒子构成的体系称为线性谐振子。线性谐振子的能级为：,,,,),(321021nnEn⒕透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比。反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比。⒖隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。⒗求证：在薛定谔方程中),()(),(trrVtrti222只有当势能V(r)为实函数时，连续性方程0Jttrw),(才能成立。⒘设一个质量为μ的粒子束缚在势场中作一维运动，其能量本征值和本征波函数分别为En,ψn，n=1，2，3，4、…。求证：)()(nmdxxxnm，0⒙对一维运动的粒子，设Ψ1(x)和Ψ2(x)均为定态薛定谔方程的具有相同能量E的解，求证：常数)()()()(xxxx1221⒚一粒子在一维势场2,2202,)(axaxaaxxU，中运动，求粒子的能级和对应的波函数。⒛体系处于ψ(x,t)态，几率密度ρ(x,t)=？几率流密度j(x,t)=？xJt证明：21．设粒子波函数为ψ(r,t),写出粒子几率守恒的微分表达式。22．量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别？答:量子力学的波函数是一种概率波，没有直接可测的物理意义，它的模方表示概率，才有可测的意义；经典的波场代表一种物理场，有直接可测的物理意义。23．什么是量子力学中的定态？它有什么特征？24．设),(tpC为归一化的动量表象下的波函数，写出dptpC2),(的物理意义。25．设质量为μ粒子处于如下势垒中)1(0)(000xxxxUxU若U00，E0，求在x=x0处的反射系数和透射系数。26．设质量为μ粒子沿x轴正方向射向如下势垒)(0000xxxxVxU若V00，E0，求在x=x0处的反射系数和透射系数。27．一个粒子的波函数为都是常数。其他，baAbxaabxbAaxaxAx,,,,,)()(,,)(00求：①归一化常数A；②画出)(x与x关系图，并求粒子出现最大几率的点。③在ax0区间找到粒子的几率。在ab和ab2时的几率。④x的平均值。28．IA2ˆ，I为单位矩阵，则算符Aˆ的本征值为__________。29．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。30．力学量算符应满足的两个性质是。厄密算符的本征函数具有。第三章⒈算符:作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。⒉厄密算符的定义：如果算符Fˆ满足下列等式ˆˆdxFdxF，则称Fˆ为厄密算符。式中ψ和φ为任意波函数，x代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。⒊厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。⒋简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。⒌氢原子的电离态：氢原子中的电子脱离原子的束缚，成为自由电子的状态。电离能：电离态与基态能量之差⒍氢原子中在半径r到r+dr的球壳内找到电子的概率是：　drrrRdrrWnlnl22)()(在方向(θ，φ)附近立体角dΩ内的概率是：　dΩYdΩwlmlm2),(),(⒎两函数ψ1和ψ2正交的条件是：0τd21式中积分是对变量变化的全部区域进行的，则称函数ψ1和ψ2相互正交。⒏正交归一系：满足正交条件的归一化本征函数φk或φl。⒐厄密算符本征波函数的完全性：如果φn(r)是厄密算符Fˆ的正交归一本征波函数，λn是本征值，则任一波函数ψ(r)可以按φn(r)展开为级数的性质。或者说φn(r)组成完全系。⒑算符与力学量的关系：当体系处于算符Fˆ的本征态φ时，力学量F有确定值，这个值就是算符Fˆ在φ态中的本征值。力学量在一般的状态中没有确定的数值，而有一系列的可能值，这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值。每个可能值都以确定的几率出现。⒒算符对易关系：ABBAB,Aˆˆˆˆˆˆ。可对易算符：如果0ˆˆB,A，则称算符Aˆ与Bˆ是可对易的；不对易算符：如果0ˆˆB,A，则称算符Aˆ与Bˆ是不对易的。⒓两力学量同时有确定值的条件：定理1：如果两个算符GFˆˆ和有一组共同本征函数φn，而且φn组成完全系，则算符对易。定理2：如果两个算符GFˆˆ和对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。⒔测不准关系：当两个算符不对易时，它们不能同时有确定值，G)(F)(2242k⒕量子力学中力学量运动守恒定律形式是：01HFitFdtFdˆ,ˆ量子力学中的能量守恒定律形式是：01HHidtHdˆ,ˆˆ⒖空间反演：把一个波函数的所有坐标自变量改变符号(如r→－r)的运算。宇称算符：表示空间反演运算的算符。宇称守恒：体系状态的宇称不随时间改变。⒗一维谐振子处在基态tixex2222)(，求：(1)势能的平均值2221xU；(2)动能的平均值22pT；(3)动量的几率分布函数。012122)!12(22nnxnndxex⒘证明下列关系式：ipˆ，,),,(,,ˆzyxLL02LiLLzyxLiLLLiLLLiLLyxzxzyzyxˆˆˆ),,(LˆLˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆ综合写成：，，0　　　　　　　　　yizLyixLxiyLxizLzixLziyLzyxLxzzyyx,ˆ;,ˆ,ˆ;,ˆ,ˆ;,ˆ),,(,ˆ,0　　　　　　　　　yzxyxzxyzxzyzxyzyxpipLpipLpipLpipLpipLpipLzyxpLˆˆ,ˆ;ˆˆ,ˆˆˆ,ˆ;ˆˆ,ˆˆˆ,ˆ;ˆˆ,ˆ),,(,ˆˆ,0⒙量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？⒚表示力学量的厄密算符的所有本征函数构成；力学量的取值范围就是该算符的所有。⒛厄密算符有什么性质？①试证明厄密算符的本征值必是实数。②试证明厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。21.证明算符关系：pipLLpxfppxfipxfpxxfpixfpxxxxxxx2ˆˆˆˆ,)(ˆˆ)(ˆ)(ˆ,),(ˆ2)(ˆ,222.试证明算符yzxpzpyLˆˆˆ是厄密算符。23.写出角动量分量xLˆ和yLˆ之间的对易关系。24.)(xf是x的可微函数，证明：xxfixfpx)()(,ˆ25.BAˆ,ˆ各为厄密算符，试证明：BAˆˆ也是厄密算符的条件是BAˆˆ与对易。26.粒子在宽度为a的非对称一维无限深势阱中，其本征能量和本征波函数为：,3,2,1,22222nnaEn)()sin()(axxanaxn02当体系处于状态)()(xaAxx时（A是归一化常数），证明：①960125316,,,n；②96145314,,nn27.氢原子处在基态001arear),,(，求：(1)r的平均值；(2)势能re2的平均值(3)动量的几率分布函数。28.一维运动