2011高三一轮理数课时提能精练第6章第2节算术平均数与几何平均数(龙门亮剑全国版)

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2010年银川模拟)已知a、b满足0＜a＜b＜1，下列不等式中成立的是()A．aa＜bbB．aa＜baC．bb＜abD．bb＞ba【解析】取特殊值法．令a＝14，b＝12，则aa＝(14)14＝(12)12，bb＝(12)12，∴A错．ab＝(14)12＜(12)12＝bb，∴C错．bb＝(12)12＜(12)14＝ba，∴D错．∴B正确【答案】B2．已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是()A．c≥b＞aB．a＞c≥bC．c＞b＞aD．a＞c＞b【解析】c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b，已知两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，∵1＋a2－a＝(a－12)2＋34＞0，∴1＋a2＞a，∴b＝1＋a2＞a，∴c≥b＞a.【答案】A3．设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是()A．ab＜b2＜1B．log12b＜log12a＜0C．2b＜2a＜2D．a2＜ab＜1【解析】∵y＝2x是单调递增函数，且0＜b＜a＜1，∴2b＜2a＜21，即2b＜2a＜2，故选C.【答案】C.4．(2010年长沙模拟)已知a、b、c∈R，则下列推理：①ac2＞bc2⇒a＞b；②a3＞b3，ab＞0⇒1a＜1b；③a2＞b2，ab＞0⇒1a＜1b；④0＜a＜b＜1⇒loga(1＋a)＞logb11－a.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】由ac2＞bc2可知c2＞0，∴ac2×c2＞bc2×c2，即a＞b，∴①正确．由a3＞b3，ab＞0，可得a＞b，ab＞0，即a＞b＞0或b＜a＜0，∴1a＜1b，∴②正确．由a2＞b2，ab＞0，可得a＞b＞0或a＜b＜0，a＞b＞0时1a＜1b，但a＜b＜0时，1a＞1b，故③不正确．∵0＜a＜b＜1，∴loga(1＋a)＞logb(1＋a)，又∵logb(1＋a)－logb11－a＝logb(1－a2)＞0，∴logb(1＋a)＞logb11－a，∴loga(1＋a)＞logb11－a，故④正确．【答案】C5．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则()A．甲先到教室B．乙先到教室C．两人同时到教室D．谁先到教室不确定【解析】设步行速度与跑步速度分别为v1，v2，显然v1＜v2，总路程为2s，则甲用时间为sv1＋sv2，乙用时间为4sv1＋v2，而sv1＋sv2－4sv1＋v2＝s(v1＋v2)2－4sv1v2v1v2(v1＋v2)＝s(v1－v2)2v1v2(v1＋v2)＞0，故sv1＋sv2＞4sv1＋v2，故乙先到教室．【答案】B6．若x＞y＞1，且0＜a＜1，则①ax＜ay；②logax＞logay；③x－a＞y－a；④logxa＜logya.其中不成立的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】∵x＞y＞1,0＜a＜1，∴ax＜ay，logax＜logay，故①成立，②不成立．xa＞ya＞0，∴x－a＜y－a，③不成立．又logax＜logay＜0，∴1logax＞1logay，即logxa＞logya，∴④也不成立．【答案】C二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则4a－2b的取值范围是________．【解析】令4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，则m＋n＝4m－n＝－2，解得m＝1，n＝3.故4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)，又1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，∴－3≤3(a－b)≤6，∴－2≤(a＋b)＋3(a－b)≤10，即－2≤4a－2b≤10.【答案】[－2,10]8．设A＝1＋2x4，B＝2x3＋x2，x∈R，则A，B的大小关系是______．【解析】∵A－B＝1＋2x4－2x3－x2＝2x3(x－1)－(x2－1)＝(x－1)(2x3－x－1)＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)，∵(x－1)2≥0,2x2＋2x＋1＞0，∴A－B≥0，即A≥B.【答案】A≥B9．对于0a1，给出下列四个不等式：①loga(1＋a)loga1＋1a；②loga(1＋a)loga1＋1a；③a1＋aa1＋1a；④a1＋aa1＋1a.其中成立的是________．【解析】∵0a1,1＋a1＋1a，∴loga(1＋a)loga(1＋1a)，a1＋aa1＋1a.【答案】②④三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．(2008年银川模拟)设a0，且a≠1，t0，比较12logat与logat＋12的大小．【解析】∵logat＋12－12logat＝logat＋12t，又t＞0，由不等式性质t＋1≥2t，∴t＋12t≥1.①当0a1时，logat＋12t≤loga1＝0，∴logat＋12≤12logat.②当a1时，logat＋12t≥loga1＝0，∴logat＋12≥12logat.11．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，当p，q满足p＋q＝1时，试证明：pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)对于任意实数x，y都成立的充要条件是0≤p≤1.【证明】pf(x)＋qf(y)－f(px＋qy)＝p(x2＋ax＋b)＋q(y2＋ay＋b)－(px＋qy)2－a(px＋qy)－b＝p(1－p)x2＋q(1－q)y2－2pqxy＝pq(x－y)2①若0≤p≤1，则q＝1－p∈[0,1]，∵pq≥0，∴pq(x－y)2≥0，∴pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)．②当pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)时，pq(x－y)2≥0.∵(x－y)2≥0，∴pq≥0.即p(1－p)≥0，∴0≤p≤1，∴原命题成立．12．设a0，b0，若用x表示a和ba2＋b2中的较小者a与ba2＋b2相等时，x＝ba2＋b2，试问：x是否存在最大值？如果存在，求出其最大值及存在最大值的条件．【解析】由(a－b)2≥0，得a2＋b2≥2ab.已知a0，b0，所以ab0.所以1a2＋b2≤12ab，所以aba2＋b2≤ab2ab＝12.当a≥ba2＋b2时，取x＝ba2＋b2，此时x≤a.∴x2≤aba2＋b2≤12，即x≤22.当且仅当a＝b时，xmax＝22，此时ba2＋b2＝22，又a＝b，解得a＝b＝22.当aba2＋b2时，取x＝a，此时xba2＋b2，∴x2aba2＋b2≤12，∴0x22.综上所述，当且仅当a＝b＝22时，xmax＝22.