2011高考数学总复习备考综合模拟4(有解析)

1【状元之路】2011高考数学总复习备考综合模拟(四)时间：120分钟满分：150分姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分得分△注意事项：1.填写答题卡请使用2B铅笔填涂2.提前5分钟收答题卡一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在括号内．1．若1＋ii＋(1＋3i)2＝a＋bi(a，b∈R)，则a－b＝()A．23B．－23C．2＋23D．23－2解析：1＋ii＋(1＋3i)2＝1－i－2＋23i＝－1＋(23－1)i＝a＋bi，则a＝－1，b＝23－1，故a－b＝－23.答案：B2．已知全集I＝R，若函数f(x)＝x2－3x＋2，集合M＝{x|f(x)≤0}，N＝{|f′(x)＜0}，则M∩∁IN＝()A．[32，2]B．[32，2)C．(32，2]D．(32，2)解析：由f(x)≤0，即x2－3x＋2≤0，解得1≤x≤2，故M＝[1,2]；由f′(x)＜0，即2x－3＜0，解得x＜32，故N＝(－∞，32)，∁IN＝[32，＋∞)，故M∩∁IN＝[32，2]．答案：A3．已知α∈(－π2，0)，cosα＝35，则tan(α－π4)＝()A.17B．7C．－17D．－7解析：由已知得sinα＝－45，则tanα＝－43，故tan(α－π4)＝tanα－11＋tanα＝－43－11－43＝7.答案：B24．已知一个空间几何体的三视图及其寸如图所示，则该空间几何体的体积是()A.143B.73C．14D．7解析：这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的高是2，上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形，故其体积V＝13×(12＋12×22＋22)×2＝143.答案：A5．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出200人作进一步调查，其中低于1500元的称为低收入者，高于3000元的称为高收入者，则应在低收入者和高收入者中分别抽取的人数是()A．1000,2000B．40,80C．20,40D．10,20解析：由图可知，低收入者的频率是0.0002×500＝0.1，故应在低收入者中抽取200×0.1＝20人；高收入者的频率是(0.0003＋0.0001)×500＝0.2，故应在高收入者中抽取200×0.2＝40人．答案：C6．给出下列结论：①命题“若p，则q或r”的否命题是“若p，则q且r”；②命题“若p，则q”的逆否命题是“若p，则q”；③命题“∃n∈N*，n2＋3n能被10整除”的否命题是“∀n∈N*，n2＋3n不能被10整除”；3④命题“∀x，x2－2x＋3＞0”的否命题是“∃x，x2－2x＋3＜0”．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：由于否命题是把原命题的否定了的条件作条件、否定了的结论作结论得到的命题，故①正确；由于逆否命题是把原命题的否命题的结论作条件、否定了的条件作结论得到的命题，故②不正确；特称命题的否命题是全称命题，故③正确；虽然全称命题的否命题是特称命题，但对结论的否定错误，故④不正确．答案：B7．在平面直角坐标系中，由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线y＝ex以及该曲线在x＝a(a≥1)处的切线所围成图形的面积是()A．eaB．ea－1C.12eaD.12ea－1解析：∵y＝ex，∴y′＝ex，故曲线y＝ex在x＝a处的斜率为ea，切线方程为y－ea＝ea(x－a)，令y＝0得x＝a－1≥0.如图所示，点A(a－1,0)，D(a,0)，，B(a，ea)，两坐标轴的正半轴，曲线y＝ex以及该曲线在x＝a(a≥1)处的切线所围成图形的面积等于曲边形ODBC的面积减去△ADB的面积，曲边形ODBC的面积为0aexdx＝ea－1，△ADB的面积为12|AD|.|DB|＝12×[a－(a－1)]ea＝12ea，故所求的面积为ea－1－12ea＝12ea－1.答案：D8．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝30°，若在该菱形内任取一点，则该点到菱形的顶点A，B的距离均不小于1的概率是()A.π4B．1－π4C．1－π12D．1－5π12解析：如图所示，只有空白区域内的点到A，B的距离均不小于1，菱形的面积为2×2sin30°＝2，两个阴影部分扇形的面积之和恰好是一个半径为1的半圆的面积，其面积4为π2，故空白区域的面积为2－π2，所求的概率是2－π22＝4－π4＝1－π4.答案：B9．在直角坐标系中，若不等式组y≥0y≤2xy≤k(x－1)－1表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(0，＋∞)C．(0,2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)解析：如图所示，直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，当这条直线的斜率为负值时，只有直线的斜率k∈(－∞，－1)时，才可构成三角形区域；当这条直线的斜率为正值时，y≤k(x－1)－1所表示的是直线y＝k(x－1)－1及其右下方的半平面，这个区域和另外两个半平面的交集是一个无界区域，不能构成三角形．因此k的取值范围是(－∞，－1)．答案：A10．已知直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP·OQ＝－12，则k的值为()A．±3B．±1C．±2D．－35解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立两个方程得x2＋(kx＋1)2＝1，即(1＋k2)x2＋2kx＝0，解得x1＝0，x2＝－2k1＋k2，则y1＝1，y2＝k(－2k1＋k2)＋1＝1－k21＋k2，故OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝0×(－2k1＋k2)＋1×1－k21＋k2＝1－k21＋k2＝－12，即k2＝3，故k＝±3.答案：A11．若函数f(x)＝kax－a－x(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是()解析：依题意得，对于任意的x∈R有，f(－x)＋f(x)＝0，即ka－x－ax＋kax－a－x＝0，(k－1)(a－x＋ax)＝0，∵a－x＋ax≠0，∴k＝1，∴f(x)＝ax－a－x，g(x)＝loga(x＋1)，∵f(x)＝ax－a－x在(－∞，＋∞)上为增函数，故a＞1，∴g(x)＝loga(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数．答案：C12．现有20个零件，其中16个是一等品，4个是二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法的种数是()A．1136B．1600C．2736D．1120解法一：“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品的不同取法”，“恰有2个一等品的不同取法”，“恰有3个一等品的不同取法”，由分类计数原理有：C116C24＋C216C14＋C316＝1136种．解法二：考虑其对立事件：“3个都是二等品”，用间接法：C320－C34＝1136种．答案：A二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中横线上．13．一个算法的程序框图如图所示，如果输出的结果在区间[－1,1]内，则输入的x的取值范围是__________．6解析：当x＞0时，由y＝lgx∈[－1,1]得x∈[110，10]，同理，x＜0时，得x∈[－10，－110]，当x＝0时输出结果也在区间[－1,1]内．答案：{0}∪[－10，－110]∪[110，10]14．在△ABC中，BC＝2AB，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率是__________．解析：设AB＝2c(c＞0)，则BC＝4c，根据余弦定理AC＝(2c)2＋(4c)2－2×2c×4c×cos120°＝27c，根据双曲线定义2a＝AC－BC＝27c－4c，故该双曲线的离心率为ca＝2c2a＝2c27c－4c＝17－2＝2＋73.答案：2＋7315．已知直线y＝2x上一点P的横坐标为a，A(－1,1)，B(3,3)，则使向量PA与PB的夹角为钝角的充要条件是__________．解析：由题意知P点的坐标为(a,2a)，PA＝(－1－a,1－2a)，PB＝(3－a,3－2a)．由向量PA与PB的夹角为钝角，得：PA·PB＝(－1－a,1－2a)·(3－a,3－2a)＝(－1－a)(3－a)＋(1－2a)(3－2a)＝5a2－10a＜0，∴0＜a＜2，但是当a＝1时，PA，PB反向共线，其夹角为π，故向量PA与PB的夹角为钝角的充要条件是0＜a＜2且a≠1.答案：0＜a＜2且a≠1716．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则∑2010n＝11f(n)＝__________.解析：令y＝1得f(x＋1)＝f(x)+2x+2,即f(n+1)=f(n)=f(n)+2n+2,故f(2)-f(1)=21+2,f(3)-f(2)=22+2,…,f(n)-f(n-1)=2(n-1)+2,各式相加得f(n)-f(1)=220101212121,()1121211,1111111,1122311120101.201020112011201120102011nnnfnnnnnnfnnnnnfn故故答案:三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题12分)在一次代号为“东方雄师”的军事演习中，红军派出甲、乙两架轰炸机对蓝军的同一地面目标进行轰炸，已知甲轰炸机投弹1次命中目标的概率为23，乙轰炸机投弹1次命中目标的概率为12，两机投弹互不影响，每机各投弹2次，2次投弹之间互不影响．(1)若至少2次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；(2)记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．解析：设Ak表示甲轰炸机命中目标k次，k＝0,1,2，Bl表示乙轰炸机命中目标l次，l＝0,1,2，则Ak，Bl相互独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有P(Ak)＝Ck2(23)k(13)2－k，P(Bl)＝Ct2(12)l(12)2－l.据此算得P(A0)＝19，P(A1)＝49，P(A2)＝49.P(B0)＝14，P(B1)＝12，P(B2)＝14.(1)所求概率为1－P(A0B0＋A0B1＋A1B0)＝1－(19×14＋19×12＋49×14)＝1－736＝2936.(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，则P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝19×14＝136，P(ξ＝1)＝P(A0B1)＋P(A1B0)＝19×12＋49×14＝16，8P(ξ＝2)＝P(A0B2)＋P(A1B1)＋P(A2B0)＝19×14＋49×12＋49×14＝1336，P(ξ＝3)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝49×14＋49×12＝13，P(ξ＝4)＝P(A2B2)＝49×14＝19.综上知，ξ的分布列为ξ01234P1361613361319从而，ξ的数学期望Eξ＝0×136＋1×16＋2×1336＋3×13＋4×19＝73.18．(本小题12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AB＝a，E是PB的中点．(1)求异面直线PD与AE所成角的正切值；(2)在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBC；(3)在(2)的条件下，求二面角F－PC－E的正切值．解析：(1)连接AC、BD交于点H，连接EH.∵BH＝DH，PE＝EB，∴EH∥PD，∴∠AEH为异面直线PD与AE所成的角，∵EH＝12PD＝a2，9AH＝12AC＝22a，∴tan∠AEH＝AHEH＝2，即异面直线PD与AE所成角的正切值为2.(2)设F为AD的中点，